Question

如圖△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC繞著它的斜邊中點P逆時針旋轉90°至△DEF的位置，DF交BC于點H．
（1）PH=

2

3

cm．
（2）△ABC與△DEF重疊部分的面積為

9

cm²．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉前后對應角相等可知：△FHP∽△FED，又點P為斜面中點，FP=6cm，在根據相似三角形的對應邊的比相等即可求出PH的長；
（2）把所求陰影部分面積看作△FHP與△FMN的面積差，并且這兩個三角形都與△ABC相似，根據∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，求出對應邊的長，再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方求面積即可．

解答：解：設AC與DF和EF的交點分別為M，N，如下圖所示：

（1）∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，點P為斜面中點，
∴FD=6

3

cm，DE=6cm，FP=6cm，
根據旋轉前后對應角相等可知：△FHP∽△FED，
∴

FP

FD

=

HP

DE

=

FH

EF

，即

6

6 3

=

HP

6

=

FH

12

，
解得：PH=2

3

，FH=4

3

；

（2）∵∠C是公共角，∠CPN=∠A=90°，
∴△PNC∽△ABC得，

BA

NP

=

AC

CP

=

BC

NC

，即

6

NP

=

6 3

CP

=

12

NC

，其中CP=6，
解得NP=2

3

，NC=4

3

．
FN=FP-NP=6-2

3

，
由△FMN∽△CPN，可知

FN

NC

=

1- 3

2

，
根據相似三角形面積比等于相似比的平方，可知
S_{四邊形MNPH}=S_△FHP-S_△FMN=S_△CNP-（1-

3

2

）S_△CNP=6×2

3

×

1

2

×

3

2

=9．
△ABC與△DEF重疊部分的面積為9cm²．
故答案為：2

3

，9．

點評：本題考查了旋轉的性質及含30度角的直角三角形的知識，有一定難度，注意相似三角形性質的熟練運用．