Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,m)，B(-3,n)為兩動(dòng)點(diǎn)，其中m﹥1，連結(jié)，，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)．

1.求證：mn=6

2.當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)且以軸為對(duì)稱軸，求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式

3.在（2）的條件下，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2？若存在，求出直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

 

1.點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,m)，(-3,n)，∴BC=n,OC=3,OD=2,AD=m，

又，易證，∴,∴,∴mn=6．

2.由（1）得，，又∴

即∴，又,∴,又∵mn=6, ∴∴m=6(),n=1

坐標(biāo)為坐標(biāo)為，易得拋物線解析式為．

3.直線為，且與y軸交于點(diǎn)，

假設(shè)存在直線交拋物線于兩點(diǎn)，且使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2，如圖所示，

則有PF:FQ=1:2，作軸于M點(diǎn)，軸于點(diǎn)，

在拋物線上，設(shè)坐標(biāo)為，

則FM=，易證△PMF∽QNF，∴,

∴QN=2PM=-2t,NF=2MF=，∴ 

點(diǎn)坐標(biāo)為,Q點(diǎn)在拋物線上，

，解得，

坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，

易得直線為．

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得直線的另解為．

解析:（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得OC、OD、BC、AD的長(zhǎng)，由于OA⊥OB，可證得△BOC∽△OAD，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可證得所求的結(jié)論．

（2）欲求拋物線的解析式，需先求出A、B的坐標(biāo)；根據(jù)（1）的相似三角形，可得3OA=mOB，用OB表示出OA，代入△OAB的面積表達(dá)式中，可得到OB²的值，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求得另外一個(gè)OB²的表達(dá)式，聯(lián)立兩式可得關(guān)于m、n的等式，結(jié)合（1）的結(jié)論即可求出m、n的值，從而確定A、B的坐標(biāo)和拋物線的解析式．

（3）求直線l的解析式，需先求出P、Q的坐標(biāo)，已知S_△POF：S_△QOF=1：2，由于兩三角形同底不等高，所以面積比等于高的比，即P、Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值的比，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩者的比例關(guān)系表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由于點(diǎn)Q在拋物線的圖象上，可將其代入拋物線的解析式中，即可求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得直線l的解析式．