Question

2．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（-2，0）、B（0，4），直線l經(jīng)過點(diǎn)B，并且與直線AB垂直．點(diǎn)P在直線l上，且△ABP是等腰直角三角形．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q（a，b）在第二象限，且S_△QAB=S_△PAB．
①用含a的代數(shù)式表示b；
②若QA=QB，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，0），B（0，4）代入y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）作PC⊥y軸于C，證得△ABO≌△BPC，從而得出AO=BC=2，BO=PC=4，根據(jù)圖象即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①由題意可知Q點(diǎn)在經(jīng)過P₁點(diǎn)且垂直于直線l的直線上，得到點(diǎn)Q所在的直線平行于直線AB，設(shè)點(diǎn)Q所在的直線為y=2x+n，代入P₁（-4，6），求得n的值，即可求得點(diǎn)Q所在的直線為y=2x+14，代入Q（a，b）即可得到b=2a+14；
②由QA=QB，根據(jù)勾股定理得出（a+2）²+b²=a²+（b-4）²，進(jìn)一步得到（a+2）²+（2a+14）²=a²+（2a+14-4）²，解方程即可求得a的值，從而求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（-2，0），B（0，4）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
則直線AB解析式為y=2x+4；
（2）如圖1所示：作PC⊥y軸于C，

∵直線l經(jīng)過點(diǎn)B，并且與直線AB垂直．
∴∠ABO+∠PBC=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠PBC，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴AB=PB，
在△ABO和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠PBC}\\{∠AOB=∠BCP}\\{AB=PB}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△BPC（AAS），
∴AO=BC=2，BO=PC=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（-4，6）或（4，2）；
（3）①∵點(diǎn)Q（a，b）在第二象限，且S_△QAB=S_△PAB．
∴Q點(diǎn)在經(jīng)過P₁點(diǎn)且垂直于直線l的直線上，
∴點(diǎn)Q所在的直線平行于直線AB，
∵直線AB解析式為y=2x+4，
∴設(shè)點(diǎn)Q所在的直線為y=2x+n，
∵P₁（-4，6），
∴6=2×（-4）+n，
解得n=14，
∴點(diǎn)Q所在的直線為y=2x+14，
∵點(diǎn)Q（a，b），
∴b=2a+14；A（-2，0），B（0，4）
②∵QA=QB，
∴（a+2）²+b²=a²+（b-4）²，
∵b=2a+14，
∴（a+2）²+（2a+14）²=a²+（2a+14-4）²，
整理得，10a=-50，
解得a=-5，b=4，
∴Q的坐標(biāo)（-5，4）．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，兩直線平行的性質(zhì)等．