Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心點(diǎn)A在軸上，直徑OB=8，點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn)，，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B、C.動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)Q以每秒兩個(gè)單位的速度在OB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、P、Q，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△DPQ的面積為y.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過程中，△DPQ的面積存在最大值嗎？如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)的t值和△DPQ面積的最大值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

（1）解：連接AC

為半圓的圓心，OB=8

   

 △AOC為等邊三角形

 

易知

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=6

將點(diǎn)，分別代入解得：

.

（2）         

（3）連接BC、 DB，延長(zhǎng)DB、PQ交于點(diǎn)E

     ，

△OPQ∽△OCB

∠OPQ=∠OCB

為半圓的直徑

∠OCB=90º

∠OPQ=90º

在Rt△OPQ中，PQ=  

連接CD

點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)

CD∥OB

且對(duì)稱軸為x=6

CD=OB=8

四邊形OCDB為平行四邊形

OC∥DB

∠DEP=∠OPQ=90º

在Rt△BEQ中，∠BQE=30º，

 

        

S_△DPQ=

即        

當(dāng)t =4時(shí)，△DPQ的面積的最大值為 .