Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l₁：y=x與直線l₂：y= -x+6相交于點M，直線l₂與x軸相交于點N．

（1）求M，N的坐標．

（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個單位長度的速度移動，設矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S，移動的時間為t（從點B與點O重合時開始計時，到點A與點N重合時計時開始結束）．直接寫出S與自變量t之間的函數(shù)關系式（不需要給出解答過程）．

（3）在（2）的條件下，當t為何值時，S的值最大？并求出最大值．

Answer 1

解：（1）解方程組 ，

解得：  ，

則M的坐標是：（4 ，2）．

在解析式y(tǒng)=-x+6中，令y=0，解得：x=6，則N的坐標是：（6，0）．

（2）當0≤t≤1時，重合部分是一個三角形，OB=t，則高是t，則面積是 ×t• t= t²；

當1＜t≤4時，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是： t，上底是：（t-1），根據(jù)梯形的面積公式可以得到：；

當4＜t≤5時，過M作x軸的垂線，則重合部分被垂線分成兩個直角梯形，兩個梯形的下底都是2，上底分別是：-t+6和（t-1），根據(jù)梯形的面積公式即可求得

 ；

當5＜t≤6時，重合部分是直角梯形，與當1＜t≤4時，重合部分是直角梯形的計算方法相同，則S=7-2t；

當6＜t≤7時，重合部分是直角三角形，則與當0≤t≤1時，解法相同，可以求得．

則：

（3）在0≤t≤1時，函數(shù)的最大值是：；

當1＜t≤4，函數(shù)值y隨x的增大而增大，則當x=4時，取得最大值是： ；

當4＜t≤5時，是二次函數(shù)，對稱軸x= ，則最大值是：- ；

當5＜t≤6時，函數(shù)y隨t的增大而減小，因而函數(shù)值一定小于 ；

同理，當6＜t≤7時，y隨t的增大而減小，因而函數(shù)值小于 ．

總之，函數(shù)的最大值是： ．