Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，AE平分∠CAB，交BC于點E，D為AB上一點，以AD直徑的⊙O經(jīng)過點E．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連結OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
又∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE=∠CAE，
∴∠OEA=∠CAE，
∴OE∥AC，
又∵∠ACB=90°，
∴∠OEB=∠ACB=90°，
∴BC與⊙O相切；

（2）解：設OA=OE=x，
∵∠ACB=90°，BC=12，AC=9，
∴AB===15，
∴OB=15-x，
又∵∠OEB=∠ACB，∠B=∠B，
∴△BOE∽△BAC，
∴=，即=，
解得：x=，
則⊙O半徑為．
分析：（1）連接OE，由OA=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AE為角平分線，利用角平分線定義得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行得到AC與OE平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠OEB=∠C，都為直角，可得出BC垂直于OE，即可得到BC與圓O相切；
（2）設OA=OE=x，在直角三角形ABC中，由BC與AC的長，利用勾股定理求出AB的長，由AB-OA表示出OB，由OE與AC平行，得到三角形OEB與三角形ACB相似，由相似得比例，列出關于x的方程，求出方程的解即可得到圓O的半徑長．
點評：此題考查了切線的判定，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．