解:(1)由于拋物線y=ax
2+bx+c經(jīng)過(guò)A(1,0)、B(4,0),可設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-1)(x-4),代入點(diǎn)C坐標(biāo)后,得:
a(-1-1)(-1-4)=5,解得 a=
∴拋物線的解析式:y=
(x-1)(x-4)=
x
2-
x+2.
(2)設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b,則有:
,解得
∴直線BC:y=-x+4,則 E(0,4).
過(guò)C作CF⊥y軸于F,過(guò)D作DG⊥BC于G,如右圖;
在Rt△OBE中,OB=OE=4,所以∠OBE=∠OEB=∠CEF=45°;
在Rt△CEF中,∠CEF=45°,則 CF=EF=1,CE=
;
在Rt△DEG中,∠DEG=45°,DE=4-2=2,EG=DG=
;
在Rt△CDG中,CG=CE+EG=2
,DG=
,所以 tan∠DCB=
=
.
(3)假設(shè)存在符合條件的P、Q點(diǎn),若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,分兩種情況:
①以AB為對(duì)角線,則P、Q關(guān)于AB的中點(diǎn)對(duì)稱(chēng),取AB的中點(diǎn)(2.5,0),設(shè)點(diǎn)P(x,-x+4),則Q(5-x,x-4);
由于點(diǎn)Q在拋物線的圖象上,依題意有:
(5-x)
2-
(5-x)+2=x-4
解得:x
1=3、x
2=4(舍去)
∴P
1(3,1);
②以AB為邊,那么PQ∥AB(即P、Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同)且PQ=AB=3,設(shè)P(x,-x+4),則Q(x+3,-x+4)或(x-3,-x+4);
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,依題意有:
當(dāng)Q(x+3,-x+4)時(shí),
(x+3)
2-
(x+3)+2=-x+4,解得:x
1=2,x
2=-5;
∴P
2(2,2)、P
3(-5,9);
當(dāng)Q(x-3,-x+4)時(shí),
(x-3)
2-
(x-3)+2=-x+4,解得:x
1=4(舍),x
2=5;
∴P
4(5,-1).
綜上,存在符合條件的P點(diǎn),且坐標(biāo)為:P(3,1)、(2,2)、(-5,9)、(5,-1).
分析:(1)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式.
(2)首先由B、C的坐標(biāo)求出直線BC的解析式以及∠CBO的度數(shù),然后分別過(guò)C作y軸的垂線、過(guò)D作直線BC的垂線,通過(guò)構(gòu)建的兩個(gè)直角三角形,求出與tan∠DCB相關(guān)的兩條直角邊,由此得解.
(3)此題的情況較為復(fù)雜,但由于AB位于x軸上,所以總體上可分作兩種情況:
①以AB為對(duì)角線,那么先找出AB的中點(diǎn),由直線BC的解析式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)稱(chēng)中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)(即AB的中點(diǎn))表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo),代入拋物線的解析式中,即可求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo);
②以AB為邊,那么PQ必與AB平行,及P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,首先表示出P點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)AB的長(zhǎng)(PQ=AB)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo),代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).
點(diǎn)評(píng):該題考查的內(nèi)容并不復(fù)雜,主要涉及到利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、解直角三角形以及平行四邊形的判定和性質(zhì);但最后一題需要考慮的情況較多,能夠根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)準(zhǔn)確找出P、Q點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系,是突破此題的關(guān)鍵所在.