Question

6．小明要測(cè)量公園被湖水隔開的兩棵大樹A和B之間的距離，他在A處測(cè)得大樹B在A的北偏西30°方向，他從A處出發(fā)向北偏東15°方向走了200米到達(dá)C處，測(cè)得大樹B在C的北偏西60°方向．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求兩棵大樹A和B之間的距離（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{6}$≈2.449）

Answer 1

分析 （1）先利用平行線的性質(zhì)得∠ACM=∠DAC=15°，再利用平角的定義計(jì)算出∠ACB=105°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠ABC的度數(shù)；
（2）作CH⊥AB于H，如圖，易得△ACH為等腰直角三角形，則AH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=100$\sqrt{2}$，在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BH=$\sqrt{3}$CH=100$\sqrt{6}$，AB=AH+BH=100$\sqrt{2}$+100$\sqrt{6}$，然后進(jìn)行近似計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵CM∥AD，
∴∠ACM=∠DAC=15°，
∴∠ACB=180°-∠BCN-∠ACM=180°-60°-15°=105°，
而∠BAC=30°+15°=45°，
∴∠ABC=180°-45°-105°=30°；
（2）作CH⊥AB于H，如圖，
∵∠BAC=45°，
∴△ACH為等腰直角三角形，
∴AH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×200=100$\sqrt{2}$，
在Rt△BCH中，∵∠HBC=30°，
∴BH=$\sqrt{3}$CH=100$\sqrt{6}$，
∴AB=AH+BH=100$\sqrt{2}$+100$\sqrt{6}$≈141.4+244.9≈386．
答：兩棵大樹A和B之間的距離約為386米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題：在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．解決此題的關(guān)鍵作CH⊥AB構(gòu)建含特殊角的直角三角形．