Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=$\frac{1}{2}$x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△ABD的面積是4．求證：四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 先根據(jù)AAS定理得出△AEB≌△CED，再由AB∥CD得出四邊形ABCD是平行四邊形，再由△ABD的面積是4得出點D到AB的距離是2，由此得出A點坐標，進而可得出結(jié)論．

解答 證明：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD，∠EBA=∠EDC．
在△AEB與△CED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠EAB=∠ECD\\∠EBA=∠EDC\\ BE=DE\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CED（AAS）．
∴AB=CD=4．
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵A（2，n），B（m，n）（m＞2），
∴AB∥x軸，且CD∥x軸．
∵m＞2，
∴m=6．
∴n=$\frac{1}{2}$×6+1=4．
∴B（6，4）．
∵△ABD的面積是4，
∴點D到AB的距離是2．                      
∵AB到x軸的距離是4，點D到到x軸的距離是2，
∴q=2．
∴p=2，即D（2，2）．
∵點A（2，n），
∴DA∥y軸，
∴AD⊥CD，即∠ADC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．

點評 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形及矩形的判定定理是解答此題的關鍵．