Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c同時滿足下列條件：對稱軸是x=1；最值是15；二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，其橫坐標的平方和為15-a，則b的值是（ ）
A．4或-30
B．-30
C．4
D．6或-20

Answer 1

【答案】分析：由在x=1時取得最大值15，可設(shè)解析式為：y=a（x-1）²+15，只需求出a即可，又與x軸交點橫坐標的平方和為15-a，可求出a，所以可求出解析式得到b的值．
解答：解：解法一：∵x軸上點的縱坐標是0，
∴由題可設(shè)拋物線與x軸的交點為（ 1-t，0），（ 1+t，0），其中t＞0，
∵兩個交點的橫坐標的平方和等于15-a即：（1-t）²+（1+t）²=15-a，
可得t=，
由頂點為（1，15），
可設(shè)解析式為：y=a（x-1）²+15，
將（1-，0）代入可得a=-2或a=15（不合題意，舍去）
∴y=-2（x-1）²+15=-2x²+4x+13，
∴b=4；
解法二：∵對稱軸是x=1，最值是15，
∴設(shè)y=ax²+bx+c=a（x-1）²+15，
∴y=ax²-2ax+15+a，
設(shè)方程ax²-2ax+15+a=0的兩個根是x₁，x₂，
則x₁+x₂=-=2，x₁•x₂=，
∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，其橫坐標的平方和為15-a，
（x₁）²+（x₂）²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=15-a，
∴2²-=15-a，
a²-13a-30=0，
a₁=15（不合題意，舍去），a₂=-2，
∴y=-2（x-1）²+15=-2x²+4x+13；
∴b=4．
故選C．
點評：本題考查了二次函數(shù)的最值及待定系數(shù)法求解析式，難度一般，關(guān)鍵算出a的值．