【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0). (Ⅰ)求證:f(x)≥8恒成立;
(Ⅱ)求使得不等式f(1)>10成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)證明:函數(shù)f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0), ∴f(x)=|x+ |+|x﹣2m|≥|x+ ﹣(x﹣2m)|=| +2m|= +2m≥2 =8,
當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí),取等號(hào),故f(x)≥8恒成立.
(Ⅱ)f(1)=|1+ |+|1﹣2m|,當(dāng)m> 時(shí),f(1)=1+ ﹣(1﹣2m),不等式即 +2m>10,
化簡(jiǎn)為m2﹣5m+4>0,求得m<1,或m>4,故此時(shí)m的范圍為( ,1)∪(4,+∞).
當(dāng)0<m≤ 時(shí),f(1)=1+ +(1﹣2m)=2+ ﹣2m關(guān)于變量m單調(diào)遞減,
故當(dāng)m= 時(shí),f(1)取得最小值為17,
故不等式f(1)>10恒成立.
綜上可得,m的范圍為(0,1)∪(4,+∞)
【解析】(Ⅰ)利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式證得f(x)≥8恒成立.(Ⅱ)當(dāng)m> 時(shí),不等式即 +2m>10,即m2﹣5m+4>0,求得m的范圍.當(dāng)0<m≤ 時(shí),f(1)=1+ +(1﹣2m)=2+ ﹣2m關(guān)于變量m單調(diào)遞減,求得f(1)的最小值為17,可得不等式f(1)>10恒成立.綜合可得m的范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過隨機(jī)詢問某地100名高中學(xué)生在選擇座位時(shí)是否挑同桌,得到如下2×2列聯(lián)表:
男生 | 女生 | 合計(jì) | |
挑同桌 | 30 | 40 | 70 |
不挑同桌 | 20 | 10 | 30 |
總計(jì) | 50 | 50 | 100 |
(Ⅰ)從這50名男生中按是否挑同桌采取分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本,現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選取3人做深度采訪,求這3名學(xué)生中至少有2名要挑同桌的概率;
(Ⅱ)根據(jù)以上2×2列聯(lián)表,是否有95%以上的把握認(rèn)為“性別與在選擇座位時(shí)是否挑同桌”有關(guān)?
下面的臨界值表供參考:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式: ,其中n=a+b+c+d)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有器中米,不知其數(shù),前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.問,米幾何?”如圖是解決該問題的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸出的S=1.5(單位:升),則輸入k的值為( )
A.4.5
B.6
C.7.5
D.9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,若將f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則φ=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形,E是BC的中點(diǎn).
(1)求證:AE∥平面PCD;
(2)記平面PAB與平面PCD的交線為l,求二面角C﹣l﹣B的余弦值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐P﹣ABCD,底面ABCD為矩形,點(diǎn)E,F(xiàn)在側(cè)棱PA,PB上且PE=2EA,PF=2FB,點(diǎn)M為四棱錐內(nèi)任一點(diǎn),則M在平面EFCD上方的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知拋物線C1:x2=2py(p>0)與圓C2:x2+y2=5的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4. (Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)設(shè)過拋物線C1的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),與圓C2交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)k∈[0,1]時(shí),求|AB||CD|的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為發(fā)展校園足球運(yùn)動(dòng),某縣城區(qū)四校決定聯(lián)合購買一批足球運(yùn)動(dòng)裝備,市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):甲、乙兩商場(chǎng)以同樣的價(jià)格出售同種品牌的足球隊(duì)服和足球,已知每套隊(duì)服比每個(gè)足球多50元,兩套隊(duì)服與三個(gè)足球的費(fèi)用相等,經(jīng)洽談,甲商場(chǎng)優(yōu)惠方案是:每購買十套隊(duì)服,送一個(gè)足球;乙商場(chǎng)優(yōu)惠方案是:若購買隊(duì)服超過80套,則購買足球打八折.
(1)求每套隊(duì)服和每個(gè)足球的價(jià)格是多少?
(2)若城區(qū)四校聯(lián)合購買100套隊(duì)服和a個(gè)足球,請(qǐng)用含a的式子分別表示出到甲商場(chǎng)和乙商場(chǎng)購買裝備所花的費(fèi)用;
(3)假如你是本次購買任務(wù)的負(fù)責(zé)人,你認(rèn)為到哪家商場(chǎng)購買比較合算?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列事件屬于必然事件的是( )
A.姚明罰球線上投籃,投進(jìn)籃筐
B.某種彩票的中獎(jiǎng)率為 ,購買100張彩票一定中獎(jiǎng)
C.擲一次骰子,向上一面的點(diǎn)數(shù)是6
D.367人中至少有兩人的生日在同一天
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