Question

5．如圖．在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折，B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E．若雙曲線$y=\frac{k}{x}$經(jīng)過點D，則k=-$\frac{48}{25}$．

Answer 1

分析 過D作DF⊥AF于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE=DE，OA=CD=1，設(shè)OE=m，那么CE=3-m，DE=m，利用勾股定理即可求出m，然后利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長度，也就求出了點D的坐標(biāo)，進而得出k的值．

解答 解：如圖，過D作DF⊥AO于F，
∵點B的坐標(biāo)為（1，3），
∴AO=1，AB=3，
根據(jù)折疊可知：CD=OA，
∵∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=1，
設(shè)OE=m，那么CE=3-m，DE=m，
∴在Rt△DCE中，CE²=DE²+CD²，
∴（3-m）²=m²+1²，
解得m=$\frac{4}{3}$，
∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF．
∵AD=AB=3，
∴AE=CE=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EO}{DF}$=$\frac{AO}{AF}$，即$\frac{\frac{5}{3}}{3}$=$\frac{\frac{4}{3}}{DF}$=$\frac{AO}{AF}$，
∴DF=$\frac{12}{5}$，AF=$\frac{9}{5}$，
∴OF=$\frac{9}{5}$-1=$\frac{4}{5}$，
∴D的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
∵雙曲線$y=\frac{k}{x}$經(jīng)過點D，
∴k=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{12}{5}$=-$\frac{48}{25}$．
故答案為：-$\frac{48}{25}$．

點評 此題考查的是翻折變換，也考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問題．