Question

12．在△ABC和△BDE中，∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，DB=DE，連接CE，點M為CE的中點，過點C與DE平行的直線交DM的延長線于點N．
（1）當(dāng)點A、B、D在同一條直線上時（如圖1），求證：CN=ED；
（2）將圖1中的△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C、B、D在同一條直線上時（如圖2），判斷線段AN與AD的關(guān)系，并給出證明；
（3）將圖2中△ABC繞點B繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，請直接寫出△ADN的形狀．

Answer 1

分析 （1）先由CN∥DE，得出∠MNC=∠EDM，再由點M是CE中點，得出CM=EM，從而有△MNC≌△MDE即可；
（2）先由平角的定義和等腰直角三角形的底角為45°，判斷出∠ACN=∠ABD，利用等腰直角三角形的邊相等，得出△MNC≌△MDE，即可：
（3）先由周角和等腰三角形的底角為45°，借助平行線得出的∠NCE=∠DEC從而判斷出∠ACN=∠ABD，利用等腰直角三角形的邊相等，得出△MNC≌△MDE，即可：

解答 解：（1）∵CN∥DE，
∴∠CNM=∠EDM，
∵點M是CE中點，
∴CM=EM，
在△MNC和△MDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CNM=∠EDM}\\{∠CMN=∠EMD}\\{CM=EM}\end{array}\right.$
∴△MNC≌△MDE，
∴CN=ED，
（2）AN=AD，AN⊥AD
理由：∵CN∥ED，
∴∠NCD+∠EDC=180°，
∵∠EDC=90°，
∴∠NCD=90°，
∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ACN=∠NCD+∠ACB=135°，∠ABD=135°，
∴∠ACN=∠ABD，
由（1）有，CN=ED=BD，
在△ACN和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACN=∠ABD}\\{CN=BD}\end{array}\right.$，
∴△MNC≌△MDE，
∴AN=AD，∠CAN=∠BAD，
∴∠NAD=∠NAE+∠BAD=∠NAE+∠CAN=∠BAC=90°，
∴AN⊥AD；
（3）△ADN是等腰直角三角形，
理由：∵CN∥DE，
∴∠NCE=∠DEC，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACN=∠NCE+∠ECB+45°=∠DEC+∠ECB+45°=∠BEC+∠BED+∠ECB+45°=∠BEC+45°+∠ECB+45°
=90°+（∠BEC+∠ECB）=90°+180°-∠CBE=270°-∠CBE=270°-（360°-∠ABC-∠DBE-∠ABD）=270°-（360°-45°-45°-∠ABD）=∠ABD，
由（1）有，CN=ED=BD，
在△ACN和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACN=∠ABD}\\{CN=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△ABD
∴AN=AD，∠CAN=∠BAD，
∴∠NAD=∠NAE+∠BAD=∠NAE+∠CAN=∠BAC=90°，
∴AN⊥AD；
∴∠DAN=90°，
∴△ADN是等腰直角三角形．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是得出∠ABD=∠ACN，也是解本題的難點，（2）（3）中判斷∠ABD=∠ACN的方法有所差異，尤其是（3）不易找到∠ABD=∠ACN．