Question

如圖，在長方形ABCD中，AB=4，AD=10，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△BPQ是腰長為5的等腰三角形時(shí)，AP的長度為________．

Answer 1

2或3或8
分析：先求出BQ=5，再分①PQ=BQ=5時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，根據(jù)勾股定理求出QE，再求出BE，即可得到AP；②BP=BQ=5時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，根據(jù)勾股定理列式求出BE，即可得到AP；③PQ=BQ=5且△PBQ為鈍角三角形時(shí)，BE=QE+BQ，計(jì)算即可得解．
解答：解：∵AD=10，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，
∴BQ=BC=×10=5，
①如圖1，PQ=BQ=5時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，
根據(jù)勾股定理，QE===3，
∴BE=BQ-QE=5-3=2，
∴AP=BE=2；
②如圖2，BP=BQ=5時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，
根據(jù)勾股定理，BE===3，
∴AP=BE=3；
③如圖3，PQ=BQ=5且△PBQ為鈍角三角形時(shí)，
BE=QE+BQ=3+5=8，
AP=BE=8，
綜上所述，AP的長為2或3或8．
故答案為：2或3或8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．