Question

如圖是一個鐵藝制品，一個圓形鐵架里面焊接有△ABC和△DBC，其中BD與AC交于點E，若AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）過圓心O焊接GF，并使GF⊥AC，垂足為F，GF交BE于點G，若DE=3，EG=2，求AB的長．

Answer 1

考點：相交弦定理,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：（1）首先根據(jù)相交弦定理得出EB=EC，進而得出△EBC為等邊三角形，即可得出答案；
（2）由已知得出EF，BC的長，進而得出CM，BM的長，再求出AM的長，再由勾股定理求出AB的長．

解答：（1）證明：∵AE•EC=DE•BE，AE=DE，
∴EB=EC，
又∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°；

（2）解：作BM⊥AC于點M，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵△EBC為等邊三角形，
∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=ED=3，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，
∴BC=5，
∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=

5

2

，BM=

BC2-CM2

5 3

2

=，
∴AM=AC-CM=

11

2

，
∴AB=

AM2+BM2

=7．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關系等知識，得出CM，BM的長是解題關鍵