Question

如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為．

（1）如圖①，正方形的頂點(diǎn)在邊上，頂點(diǎn)在邊上．在正三角形及其內(nèi)部，以為位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫(xiě)作法）；

（2）求（1）中作出的正方形的邊長(zhǎng)；

（3）如圖②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在邊上，點(diǎn)分別在邊上，求這兩個(gè)正方形面積和的最大值及最小值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）如圖①，正方形即為所求．

       （2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為．

        ∵△為正三角形，

        ∴．

        ∴．

        ∴，即．（沒(méi)有分母有理化也對(duì)，也正確）

       （3）如圖②，連接，則．

        設(shè)正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為，

        它們的面積和為，則，．

        ∴．

        ∴．

        延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則．

        在中，．

        ∵，即．

        ∴ⅰ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最小．

        ∴．

        ⅱ）當(dāng)最大時(shí)，最大．

        即當(dāng)最大且最小時(shí)，最大．

        ∵，由（2）知，．

        ∴．

∴．