Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=14cm，∠ABC=60°，動點M，N分別從點B，C出發(fā)，沿BC，CD方向在BC，CD上運動，點M，N運動速度分別為2cm/s和1cm/s
（1）當點M，N運動了幾秒時，有MN∥BD？
（2）點M在邊BC上運動時，設(shè)點M運動的時間為t（s），是否存在某一時刻t（s），使得△AMN的面積最小？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
在等腰梯形ABCD中，
∵AD=8cm，BC=14cm，
BE=CF=（BC-AD）=（14-8）=3cm，
又∵∠ABC=∠C=60°，
∴DC=AB==3×2=6．
∵MN∥BD，
∴△CMN∽△CND，
∴=，
∴，
解得t=．


（2）作NG⊥BC于G．
∵AE=DF=6×sin60°=6×=3cm，
又∵△AMN的面積=梯形的面積-△ADN的面積-△ABM的面積-△NMC的面積，
∴S_△NMC=MC•NG=（14-2t）t•sin60°=（14-2t）t=-t²+t，
S_△ADN=AD•（3-t•sin60°）=×8×（3-t•sin60°）=12-2t，
S_△ABM=BM•AE=×2t•3=3tcm．
S_梯形ABCD=3•（8+14）=33cm²．
則S_△AMN=33+t²-t-12+2t-3t
=33+t²-t-12+2t-3t
=t²-t+21．
當t=-=時，二次函數(shù)取得最小值．
分析：（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，根據(jù)AD∥BC，AD=8cm，BC=14cm，∠ABC=60°，利用三角函數(shù)求出梯形的高，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出MN∥BD時所用時間；
（2）由于△AMN的面積=梯形的面積-△ADN的面積-△ABM的面積-△NMC的面積，分別用t表示出梯形的面積、△ADN的面積、△ABM的面積和△NMC的面積，便將△AMN的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解答．
點評：本題結(jié)合動點問題考查了等腰梯形的性質(zhì)，作出梯形的高、求出梯形的兩腰、并將三角形的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵．