Question

如圖，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的負(fù)半軸上另一交點(diǎn)為B，且tan∠CBO=3．
（1）求該拋物線的解析式及拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是射線BD上一點(diǎn)，且以點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用直線解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，從而得到OA、OC，再根據(jù)tan∠CBO=3求出OB，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出AB，判斷出△AOC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC，∠BAC=45°，再根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)求出∠ABD=45°，然后分①AB和BP是對應(yīng)邊時(shí)，△ABC和△BPA相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，求出BE、PE，再求出OE的長度，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；②AB和BA是對應(yīng)邊時(shí)，△ABC和△BAP相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，求出BE、PE，再求出OE的長度，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）令y=0，則x+3=0，
解得x=-3，
令x=0，則y=3，
∴點(diǎn)A（-3，0），C（0，3），
∴OA=OC=3，
∵tan∠CBO=

OC

OB

=3，
∴OB=1，
∴點(diǎn)B（-1，0），
把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式得，

9a-3b+c=0 a-b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=4 c=3

，
∴該拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴頂點(diǎn)D（-2，-1）；

（2）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=-1-（-3）=2，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=

2

OA=3

2

，∠BAC=45°，
∵B（-1，0），D（-2，-1），
∴∠ABD=45°，
①AB和BP是對應(yīng)邊時(shí)，△ABC∽△BPA，
∴

AB

BP

=

AC

BA

，
即

2

BP

=

3 2

2

，
解得BP=

2 2

3

，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，
則BE=PE=

2 2

3

×

2

2

=

2

3

，
∴OE=1+

2

3

=

5

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

5

3

，-

2

3

）；

②AB和BA是對應(yīng)邊時(shí)，△ABC∽△BAP，
∴

AB

BA

=

AC

BP

，
即

2

2

=

3 2

BP

，
解得BP=3

2

，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，
則BE=PE=3

2

×

2

2

=3，
∴OE=1+3=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，-3），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

5

3

，-

2

3

）或（-4，-3）時(shí)，以點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求解，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）要分情況討論．