Question

1）已知正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，如圖①，將△BOC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△B′OC′，OC′與CD交于點M，OB′與BC交于點N，請猜想線段CM與BN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

（2）如圖②‚，將（1）中的△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△BO′C′，連接AO′、DC′，請猜想線段AO′與DC′的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

（3）如圖③ƒ，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共點A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，連接DE、CF，請求出的值（用α的三角函數(shù)表示）．

Answer 1

解：（1）CM=BN．理由如下：如圖①，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，

∵△BOC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△B′OC′，

∴∠B′OC′=∠BOC=90°，

∴∠B′OC+∠COC′=90°，

而∠BOB′+∠B′OC=90°，

∴∠B′OB′=∠COC′，

在△BON和△COM中

，

∴△BON≌△COM，

∴CM=BN；

（2）如圖②，連接DC′，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，

∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，

∴AC=AB，BC=BO，

∴BD=AB，

∵△BOC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△B′OC′，

∴∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，

∴BC′=BO′，

∴==，

∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，

∴∠1=∠2，

∴△BDC′∽△BAO′，

∴==，

∴DC′=AO′；

（3）如圖③，在Rt△AEF中，cos∠EAF=；

在Rt△DAC中，cos∠DAC=，

∵∠EAF=∠DAC=α，

∴==cosα，∠EAF+∠FAD=∠FAD+∠DAC，即∠EAD=∠FAC，

∴△AED∽△AFC，

∴==cosα．