【題目】如圖,在矩形ABCD中,E為CD的中點,F(xiàn)為BE上的一點,連結(jié)CF并延長交AB于點M,MN⊥CM交射線AD于點N.
(1)當F為BE中點時,求證:AM=CE;
(2)若,求的值.
【答案】(1)證明見解析 (2)3
【解析】
(1)根據(jù)矩形的對邊平行可得AB∥CD,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等求出∠BAC=∠FCO,然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等,再根據(jù)全等三角形的即可得證;
(2)連接OB,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF,再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABO,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠ABO=30°,即∠BAC=30°,根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC,再利用勾股定理列式計算即可求出AB.
解:(1)當F為BE中點時,如圖1,
則有BF=EF.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=DC,AB∥DC,
∴∠MBF=∠CEF,∠BMF=∠ECF.
在△BMF和△ECF中,
∵ ,
∴△BMF≌△ECF,
∴BM=EC.
∵E為CD的中點,
∴EC=DC,
∴BM=EC=DC=AB,
∴AM=BM=EC;
(2)如圖2所示:設(shè)MB=a,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=DC,∠A=∠ABC=∠BCD=90°,AB∥DC,
∴△ECF∽△BMF,
∴EC:BM=EF:BF=2,
∴EC=2a,
∴AB=CD=2CE=4a,AM=AB﹣MB=3a.
∵AB:BC=2,
∴BC=AD=2a.
∵MN⊥MC,
∴∠CMN=90°,
∴∠AMN+∠BMC=90°.
∵∠A=90°,
∴∠ANM+∠AMN=90°,
∴∠BMC=∠ANM,
∴△AMN∽△BCM,
∴AN:BM=AM:BC,
∴AN:a=3a:2a,
∴AN=a,ND=AD﹣AN=2a﹣a=a,
∴= =3.
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【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是線段BC上一動點(不與點B、C重合),連接AD,延長BC至點E,使得CE=CD,過點E作EF⊥AD于點F,再延長EF交AB于點M.
(1)若D為BC的中點,AB=4,求AD的長;
(2)求證:BM=CD.
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【題目】如圖,菱形ABCD的邊AD與x軸平行,A、B兩點的橫坐標分別為1和3,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過A、B兩點,則菱形ABCD的面積是_____;
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【題目】如圖,市防汛指揮部決定對某水庫的水壩進行加高加固,設(shè)計師提供的方案是:水壩加高1米(EF=1米),背水坡AF的坡度i=1∶1,已知AB=3米,∠ABE=120°,求水壩原來的高度.
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【題目】如圖,陽光下,小亮的身高如圖中線段AB所示,他在地面上的影子如圖中線段BC所示,線段DE表示旗桿的高,線段FG表示一堵高墻.
(1)請你在圖中畫出旗桿在同一時刻陽光照射下形成的影子,并用線段表示;
(2)如果小亮的身高AB=1.6m,他的影子BC=2.4m,旗桿的高DE=15m,旗桿與高墻的距離EG=16m,請求出旗桿的影子落在墻上的長度.
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【題目】知識是用來為人類服務(wù)的,我們應該把它們用于有意義的方面.下面就兩個情景請你作出評判.
情景一:從教室到圖書館,總有少數(shù)同學不走人行道而橫穿草坪,這是為什么呢?試用所學數(shù)學知識來說明這個問題.
情景二:A、B是河流l兩旁的兩個村莊,現(xiàn)要在河邊修一個抽水站向兩村供水,問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?請在圖中表示出抽水站點P的位置,并說明你的理由:
你贊同以上哪種做法?你認為應用數(shù)學知識為人類服務(wù)時應注意什么?
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【題目】如圖,國家規(guī)定休漁期間,我國漁政船在A處發(fā)現(xiàn)南偏西50°方向距A處20海里的點B處有一艘可疑船只,可疑船只正沿北偏西25°方向航行,我國漁政船立即沿北偏西70°方向前去攔截,經(jīng)過1.5小時剛好在C處攔截住可疑船只,求該可疑船只航行的平均速度.
(結(jié)果精確到個位,參考數(shù)據(jù): ≈1.4, ≈1.7)
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【題目】如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,點F為CD上一點,E是AD的中點,且DF=2.在BC上找點G,使EG=AF,則BG的長是___________
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【題目】有一個拋物線型蔬菜大棚,將其截面放在如圖所示的平面直角坐標系中,拋物線可以用函數(shù)y=ax2+bx來表示,已知OA=8米,距離O點2米處的棚高BC為米.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若借助橫梁DE(DE∥OA)建一個門,要求門的高度為1.5米,求橫梁DE的長度是多少米?
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