Question

（1）如圖（1），在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN＝90°，求證：AM＝MN．下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME．

正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．

∴　∠NMC＝180°－ ∠AMN－ ∠AMB＝180°－ ∠B－ ∠AMB＝ ∠MAB＝∠MAE．

（下面請(qǐng)你完成余下的證明過程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖（2）），N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN＝60°時(shí)，結(jié)論AM＝MN是否還成立？請(qǐng)說明理由．

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD……X”，請(qǐng)你作出猜想：當(dāng)∠AMN＝_________°時(shí)，結(jié)論AM＝MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

（1）∵　AE＝MC，

∴　BE＝BM．

∴　∠BEM＝∠EMB＝45°．

∴　∠AEM＝135°．

∵　CN平分∠DCP，∠PCN＝45°，

∴　∠AEM＝∠MCN＝135°．

在△AEM和△MCN中，

∵　∠AEM＝∠MCN，AE＝MC，∠EAM＝∠CMN

∴　△AEM≌△MCN．

∴　AM＝MN．

（2）仍然成立．

在邊AB上截取AE＝MC，連接ME．

∵　△ABC是等邊三角形，

∴　AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°．

∴　∠ACP＝120°．

∵　AE＝MC，∴　BE＝BM．

∴　∠BEM＝∠EMB＝60°．

∵　CN平分∠ACP，∴　∠PCN＝60°．

∴　∠AEM＝120°．

∴　∠AEM＝∠MCN＝120°．

∵　∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，

∴　△AEM≌△MCN．∴　AM＝MN．

（3）