Question

7．將長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，點(diǎn)A，C分別在X軸，Y軸上，點(diǎn)B（a，b），且a，b滿足$\sqrt{a-3}$+（b+6）²=0．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1單位/秒的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不超過(guò)C點(diǎn)），同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以2單位/秒的速度向原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不超過(guò)原點(diǎn)），試探討四邊形AQCP的面積在運(yùn)動(dòng)中是否會(huì)發(fā)生變化？求其值，若變化，求變化范圍．
（3）若過(guò)O點(diǎn)的直線OD交長(zhǎng)方形的邊于點(diǎn)D，且直線OD把長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)分為3：5兩部分，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（4）若H（0，-1），點(diǎn)P（m，-3）在第三象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則是否存在點(diǎn)P使四邊形HBCP的面積等于△AHB的面積，若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)，不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出得到a-3=0，b+6=0，然后解方程求出a與b的值，再寫(xiě)出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則BP=t，CQ=2t（0≤t≤3），則可根據(jù)三角形面積公式和S_{四邊形AQCP}=S_矩形ABCO-S_△AOQ-S_△APB計(jì)算得到S_{四邊形AQCP}=9，
即四邊形AQCP的面積在運(yùn)動(dòng)中不發(fā)生變化；
（3）分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)D在AB上，如圖1，設(shè)D（3，n），則AD=-n，BD=6+n，根據(jù)題意得（3-n）：（6+n+3+6）=3：5，然后解方程求出n即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)D在BC上，如圖2，設(shè)D（m，-6），則CD=m，BD=3-m，根據(jù)題意得（6+m）：（3-m+3+6）=3：5，然后解方程求出n即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）根據(jù)四邊形HBCP的面積等于△AHB的面積得到$\frac{1}{2}$×5×|m|+$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{1}{2}$×6×3，然后解方程可得到滿足條件的m的值，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-3}$+（b+6）²=0，
∴a-3=0，b+6=0，
∴a=3，b=-6，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-6）；
（2）四邊形AQCP的面積在運(yùn)動(dòng)中不會(huì)發(fā)生變化．
如圖1，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則BP=t，CQ=2t（0≤t≤3），
S_{四邊形AQCP}=S_矩形ABCO-S_△AOQ-S_△APB
=3×6-$\frac{1}{2}$×3×（6-2t）-$\frac{1}{2}$×6×t
=9；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在AB上，如圖3，設(shè)D（3，n），則AD=-n，BD=6+n，
∵直線OD把長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)分為3：5兩部分，
∴（3-n）：（6+n+3+6）=3：5，
解得n=-$\frac{15}{4}$，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-$\frac{15}{4}$）；
當(dāng)點(diǎn)D在BC上，如圖2，設(shè)D（m，-6），則CD=m，BD=3-m，
∵直線OD把長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)分為3：5兩部分，
∴（6+m）：（3-m+3+6）=3：5，
解得m=$\frac{3}{4}$，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{4}$，-6），
綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-$\frac{15}{4}$）或（$\frac{3}{4}$，-6）；

（4）存在．如圖4，∵四邊形HBCP的面積等于△AHB的面積，
∴$\frac{1}{2}$×5×|m|+$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{1}{2}$×6×3，
而m＜0，
∴m=-$\frac{3}{5}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{5}$，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算線段的長(zhǎng)和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．也考查了三角形的面積公式．