【題目】已知拋物線C1:y=﹣ x2+mx+m+ .
(1)①無(wú)論m取何值,拋物線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P;
②隨著m的取值變化,頂點(diǎn)M(x,y)隨之變化,y是x的函數(shù),則其函數(shù)C2關(guān)系式為;
(2)如圖1,若該拋物線C1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出頂點(diǎn)M滿(mǎn)足的函數(shù)C2的大致圖象,平行于y軸的直線l分別交C1、C2于點(diǎn)A、B,若△PAB為等腰直角三角形,判斷直線l滿(mǎn)足的條件,并說(shuō)明理由;
(3)如圖2,拋物線C1的頂點(diǎn)M在第二象限,交x軸于另一點(diǎn)C,拋物線上點(diǎn)M與點(diǎn)P之間一點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2,連接PD、CD、CM、DM,若S△PCD=S△MCD , 求二次函數(shù)的解析式.
【答案】
(1)(﹣1,0);y=
(2)
解:∵該拋物線C1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn),
∴△= =0,
m2+2m+1=0,
m1=m2=﹣1,
∴拋物線C1關(guān)系式為:y=﹣ ﹣x﹣ =﹣ (x+1)2,
如圖1,拋物線C1、C2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),
∵△PAB是等腰直角三角形,
∴PA=PB,PA⊥PB,
∵x軸⊥AB,
∴x軸是AB的垂直平分線,
∴BD=PD,
當(dāng)直線l在頂點(diǎn)P的右側(cè)時(shí), =x+1,
解得x=1,x=﹣1(不能構(gòu)成三角形,舍去),
當(dāng)直線l在頂點(diǎn)P的左側(cè)時(shí),有 =﹣x﹣1,
解得x=﹣3、x=﹣1(不能構(gòu)成三角形,舍去),
則直線l為:x=1或x=﹣3
(3)
解:如圖2,
當(dāng)x=﹣2時(shí),y=﹣ ×4﹣2m+m+ =﹣m﹣ ,
∴D(﹣2,﹣m﹣ ),
當(dāng)y=0時(shí),﹣ x2+mx+m+ =0,
x2﹣2mx﹣2m﹣1=0,
解得:x1=1,x2=2m+1,
∴P(﹣1,0),C(2m+1,0),
由(1)得:頂點(diǎn)M[m, (m+1)2],
過(guò)D作DH⊥PC于H,過(guò)M作MN⊥PC于N,交CD于T,
則直線CD的解析式為:y= x﹣m﹣ ,
∴T(m,﹣ ﹣ ),
∵S△PCD=S△MCD,
則 PCDH= MTCH,
(﹣1﹣2m﹣1)(﹣m﹣ )= [ ﹣ ](﹣2﹣2m﹣1),
(m+1)(2m+3)=﹣ (m+1)(m+2)(2m+3),
(m+1)(2m+3)(m+4)=0,
m1=﹣1,m2=﹣ ,m3=﹣4,
∵拋物線C1的頂點(diǎn)M在第二象限,點(diǎn)D又在點(diǎn)M與點(diǎn)P之間,
∴m1=﹣1,m2=﹣ ,不符合題意,舍去,
∴m=﹣4,
∴y=﹣ x2﹣4x﹣4+ =﹣ x2﹣4x﹣ ,
則二次函數(shù)的解析式為:y=﹣ x2﹣4x﹣ .
【解析】解:(1)①當(dāng)x=﹣1時(shí),y=﹣ ﹣m+m+ =0,
∴無(wú)論m取何值,拋物線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(﹣1,0);
y=﹣ x2+mx+m+ =﹣ (x﹣m)2+ m2+m+ ,
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m, m2+m+ ),
∵頂點(diǎn)M(x,y),y是x的函數(shù),
則其函數(shù)C2關(guān)系式為:y= = (x+1)2;
所以答案是:①(﹣1,0);②y= ;
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn),以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減。
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【題目】如圖,和是等邊三角形,,
請(qǐng)你判斷的形狀并說(shuō)明理由;
如果繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),交邊于點(diǎn),請(qǐng)你判斷的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?如果不變,說(shuō)明理由;如果變化,說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí),的周長(zhǎng)最。
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的,連接BE、CF相交于點(diǎn)D.
(1)求證:BE=CF;
(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí),求BD的長(zhǎng).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸正半軸上,且OB=2OA,OBOC=OCOA=2.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P、Q均停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(t>0)秒,線段PQ的長(zhǎng)度為y,用含t的式子表示y,并寫(xiě)出相應(yīng)的t的范圍;
(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PM,PM=PQ,是否存在t值使點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)? 若存在求t值并求出此時(shí)△CMQ的面積.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C為半圓上一點(diǎn),AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D
(1)求證:OD∥AC;
(2)若AC=8,AB=10,求AD.
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【題目】在甲、乙兩名同學(xué)中選拔一人參加“中華好詩(shī)詞”大賽,在相同的測(cè)試條件下,兩人5次測(cè)試成績(jī)(單位:分)如下:
甲:79,86,82,85,83
乙:88,79,90,81,72.
回答下列問(wèn)題:
(1)甲成績(jī)的平均數(shù)是______ ,乙成績(jī)的平均數(shù)是______ ;
(2)經(jīng)計(jì)算知S甲2=6,S乙2=42.你認(rèn)為選拔誰(shuí)參加比賽更合適,說(shuō)明理由;
(3)如果從甲、乙兩人5次的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一次成績(jī)進(jìn)行分析,求抽到的兩個(gè)人的成績(jī)都大于80分的概率.
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【題目】下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( )
A. 在△ABC中,∠C=∠A-∠B,則△ABC為直角三角形
B. 在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3,則△ABC為直角三角形
C. 在△ABC中,若a=c,b=c,則△ABC為直角三角形
D. 在△ABC中,若a∶b∶c=2∶2∶4,則△ABC為直角三角形
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【題目】如圖,在長(zhǎng)方形的對(duì)稱(chēng)軸上找點(diǎn),使得,均為等腰三角形,則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有_________個(gè).
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