Question

已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為

3

2

，且y隨著x的增大而增大，另一條直線y=-2x-8與一次函數(shù)y=kx+b的圖象相交于點(diǎn)A，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸的交點(diǎn)為B．在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若有，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線相交或平行問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)已知求得A、B、C的坐標(biāo)，即可求得AB的長(zhǎng)以及AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，中點(diǎn)坐標(biāo)為一次函數(shù)y=kx+b的圖象交x軸的交點(diǎn)C，根據(jù)C的坐標(biāo)求得AB的垂直平分線的解析式，即可求得與y軸的交點(diǎn)，即AB為等腰三角形的底時(shí)P的坐標(biāo)，然后當(dāng)AB為腰時(shí)，以B為圓心以AB=5長(zhǎng)為半徑作圓，根據(jù)AB的長(zhǎng)即可求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即P的坐標(biāo)．

解答：解：存在；
∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），
∴b=2，
∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為

3

2

，且y隨著x的增大而增大，
∴直線y=kx+b交x軸為C（-

3

2

，0），
∴一次函數(shù)y=kx+b的解析式為y=

4

3

x+2；
∵直線y=-2x-8與一次函數(shù)y=

4

3

x+2的圖象相交于點(diǎn)A，
∴

y=-2x-8 y= 4 3 x+2

，解得

x=-3 y=-2

，
∴A的坐標(biāo)為（-3，-2），
∵B（0，2），
∴AB的中點(diǎn)為（-

3

2

，0），AB=

32+42

=5，
∴線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)C（-

3

2

，0），
設(shè)線段AB的垂直平分線的解析式為y=-

3

4

x+n，
∴0=-

3

4

×（-

3

2

）+n，解得：n=-

9

8

，
∴當(dāng)AB為底時(shí)，P₁的坐標(biāo)為（0，-

9

8

）；
當(dāng)AB為腰時(shí)，以B為圓心以AB=5長(zhǎng)為半徑作圓交坐標(biāo)軸分別為：P₂（

21

，0），P₃（0，7），P₄（-

21

，0），P₅（0，-3）；
綜上可知存在點(diǎn)P，使得以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-

9

8

）、（

21

，0），、（0，7）、（-

21

，0）、（0，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩直線平行或相交的問(wèn)題，知識(shí)點(diǎn)有：兩直線的交點(diǎn)的求法，直線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等．