Question

（2012•濱湖區(qū)模擬）如圖，已知拋物線y=（a+2）x²+4ax+a²-1經過坐標原點，交x軸的正半軸于點D．
（1）求a的值；
（2）設拋物線的頂點為M，利用尺規(guī)，在拋物線的對稱軸上，作點N，使得△OMN為等腰三角形．若不止一個，則分別記作N₁、N₂、N₃、…；
（3）若點P為拋物線對稱軸右側部分上的一點，過點P作PA⊥x軸于點A，PB∥x軸交拋物線左側部分于點B，過點B作BC⊥x軸于點C，問：是否存在這樣的點P，使得矩形PACB恰好為正方形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=（a+2）x²+4ax+a²-1經過坐標原點，把坐標（0，0）代入拋物線解析式，求出a的值即可；
（2）在拋物線的對稱軸上作出所有使得△OMN為等腰三角形的N點即可；
（3）假如存在，設點P（x，y），分別討論點P在第一象限和第四象限時，矩形PACB恰好為正方形得PA=PB，得到關于x的一元二次方程，解出x的值即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=（a+2）x²+4ax+a²-1經過坐標原點，
∴把（0，0）代入y=（a+2）x²+4ax+a²-1，
解得a=±1，
∵拋物線的對稱軸x大于0，經檢驗，a=1不合題意，舍去；a=-1符合題意，
∴a=-1；

（2）∵y=x²-4x=（x-2）²-4
∴M（2，-4），
∴OM=2

5

，
符合題意的點N共有4個，N₁等腰三角形N₁OM的頂點，（2，-1.5），
N₂是等腰三角形N₂OM底邊上的點，（2，4）；
N₃是等腰三角形OMN₃底邊上的點，（2，-4-2

5

）；
N₄是等腰三角形OMN₄底邊上的點，（2，2

5

-4）．
如圖：


（3）設P（x，y）．
①當點P在第一象限，如圖1，
由題意矩形PACB恰好為正方形，則PB=PA，
PA=x²-4x，PB=2（x-2），得 x²-4x=2（x-2），
解得x=3+

5

，x=3-

5

（舍去）．
∴P（3+

5

，2+2

5

）；                                      
②當點P在第四象限，如圖2：
由題意矩形PACB恰好為正方形，則PB=PA，
得4x-x²=2（x-2），
解得x=1+

5

，x=1-

5

 （舍去），
∴P（1+

5

，2-2

5

），
∴存在P₁（3+

5

，2+2

5

）、P₂（1+

5

，2-2

5

），使得矩形PACB恰好為正方形．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)、正方形性質等知識點，解答本題的關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，會求二次函數(shù)的對稱軸、熟練掌握正方形的性質，此題難度一般．