【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A在y軸的正半軸上,點(diǎn)B在第二象限,AO=a,AB=b,BO與x軸正方向的夾角為150°,且a2b2+ab=0.
(1)試判定△ABO的形狀;
(2)如圖1,若BC⊥BO,BC=BO,點(diǎn)D為CO的中點(diǎn),AC、BD交于E,求證:AE=BE+CE;
(3)如圖2,若點(diǎn)E為y軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn),以BE為邊作等邊△BEG,延長(zhǎng)GA交x軸于點(diǎn)P,問(wèn):AP與AO之間有何數(shù)量關(guān)系?試證明你的結(jié)論.
【答案】(1)△AOB為等邊三角形,理由見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)AP=2AO,證明見(jiàn)解析;
【解析】
(1)△ABO為等邊三角形,理由為:根據(jù)(a2-b2)+(a-b)=0,得到a=b,再由BO與x軸正方向的夾角為150°得到∠AOB=60°,即可得證;
(2)在AC上截取AM=CE,先證∠AEB=60°,方法是根據(jù)題意得到△ABO為等邊三角形,△BOC為等腰直角三角形,確定出∠ABD度數(shù),根據(jù)AB=BC,且∠ABC=120°,得到∠BAE度數(shù),進(jìn)而確定出∠AEB為60°,再由AM=CE,得到AE=CM,再由AB=CB,且?jiàn)A角∠BAC=∠BCA,利用SAS得到△BCM與△BAE全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BM=BE,得到△BEM為等邊三角形,得到BE=EM,由AE=EM+AM,等量代換即可得證;
(3)AP=2AO,理由為:由題意得到BG=BE,AB=OB,利用等式的性質(zhì)得到∠ABG=∠OBE,利用SAS得到△ABG與△OBE全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠GAB=∠BOE=60°,利用外角的性質(zhì)得到∠APO=30°,在Rt△AOP中,利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到AP=2AO.
(1)結(jié)論:△ABO為等邊三角形,
理由:∵a2b2+ab=(a+b)(ab)+(ab)=(ab)(a+b+1)=0,
∴ab=0,得到a=b,即AO=AB
∵OB與x軸正半軸夾角為150°
∴∠AOB=150°90°=60°
∴△AOB為等邊三角形;
(2)證明:在AC上截取AM=EC,可得AM+EM=CE+EM,即AE=CM.
∵△AOB為等邊三角形,△BOC為等腰直角三角形
∴∠OBC=90°,∠ABO=60°
∵D為CO的中點(diǎn)
∴BD平分∠OBC,即∠CBD=∠OBD=45°
∴∠ABD=105°,∠ABC=150°
∴∠BAC=∠BCA=15°
∴∠AEB=60°
在△ABE和△CBM中
,
∴△ABE≌△CBM(SAS)
∴BM=BE
∴△BEM為等邊三角形
∴BE=EM
∴AE=AM+EM=CE+BE;
(3)結(jié)論:AP=2AO,
理由:∵△AOB與△BGE都為等邊三角形
∴BE=BG,AB=OB,∠EBG=∠OBA=60°
∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA
即∠ABG=∠OBE
在△ABG和△OBE中
,
∴△ABG≌△OBE(SAS)
∴∠BAG=∠BOE=60°
∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°
∵∠GAO為△AOP的外角
且∠AOP=90°
∴∠APO=30°
在Rt△AOP中,∠APO=30°
∴AP=2AO.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圖象中所反映的過(guò)程是:張強(qiáng)從家跑步去體育場(chǎng),在那里鍛煉了一陣后,又 去早餐店吃早餐,然后散步走回家,其中 x 表示時(shí)間,y 表示張強(qiáng)離家的距離。根據(jù)圖象提供的信息,以下四個(gè)說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 體育場(chǎng)離張強(qiáng)家2.5千米 B. 張強(qiáng)在體育場(chǎng)鍛煉了15分鐘
C. 體育場(chǎng)離早餐店4千米 D. 張強(qiáng)從早餐店回家的平均速度是3千米/小時(shí)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】推理填空:
如圖,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1=∠2(已知),且∠1=∠4( )
∴∠2=∠4 (等量代換)
∴CE∥BF ( )
∴∠ =∠3( )
又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代換)
∴AB∥CD ( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)定義:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如:直角三角形的直角邊分別為3、4,則斜邊的平方=32+42=25.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,直接寫(xiě)出BC2=___.
(2)應(yīng)用:已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn),AP=AD,請(qǐng)利用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一原理,在線段AC上畫(huà)出一點(diǎn)M,使MP+MD最小,并直接寫(xiě)出最小值的平方為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某園林部門(mén)決定利用現(xiàn)有的349盆甲種花卉和295盆乙種花卉搭配A. B兩種園藝造型共50個(gè),擺放在迎賓大道兩側(cè)。已知搭配一個(gè)A種造型需甲種花卉8盆,乙種花卉4盆;搭配一個(gè)B種造型需甲種花卉5盆,乙種花卉9盆。
(1)某校九年級(jí)某班課外活動(dòng)小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì),問(wèn)符合題意的搭配方案有幾種?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來(lái);
(2)若搭配一個(gè)A種造型的成本是200元,搭配一個(gè)B種造型的成本是360元,試說(shuō)明(1)中哪種方案成本最低,最低成本是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABE中,∠BAE=105°,AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C,且AB=CE,則∠B的度數(shù)是( )
A. 45°B. 60°C. 50°D. 55°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)若點(diǎn)P在AC上,且滿(mǎn)足PA=PB時(shí),求出此時(shí)t的值;
(2)若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上,求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā),設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求PQ的長(zhǎng).
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),出發(fā)幾秒鐘后,△PQB能形成等腰三角形?
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),且速度都為1cm/s,連接AQ、CP交于點(diǎn)M,下面四個(gè)結(jié)論:①BP=CM;②△ABQ≌△CAP;③∠CMQ的度數(shù)不變,始終等于60°;④當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí),△PBQ為直角三角形,正確的有幾個(gè) ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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