Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)E在AB上，以BE為直徑的⊙O交BC于F，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，且⊙O過點(diǎn)D．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BC=3，AO=4，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求圖中兩部分的陰影面積和．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，由BD平分∠ABC得∠OBD=∠CBD，而∠OBD=∠ODB，而∠ODB=∠CBD，所以O(shè)D∥BC，得到∠ODA=∠C=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，證明△AOD∽△ABC，利用相似比可計(jì)算出圓的半徑R；
（3）連結(jié)EF、DF，在Rt△AOD中，OD=2，OA=4，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠A=30°，再利用圓周角定理由BE為直徑得∠EFB=90°，則EF∥BE，所以∠BEF=∠A=30°，得到BF=

1

2

BE=2，易得四邊形BODF為平行四邊形，加上OB=OD，可判斷四邊形BODF為菱形，所以BF=DF=OD=2，于是有S_弓形BF=S_弓形DF，F(xiàn)C=BC-BF=1，在Rt△DCF中，利用勾股定理計(jì)算出DC=

3

，然后利用圖中兩部分的陰影面積和=S_△DCF進(jìn)行計(jì)算．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠C=90°，
∴OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴

AO

AB

=

OD

BC

，即

4

4+R

=

R

3

，
整理得R²+4R-12=0，解得R₁=2，R₂=-6（舍去），
∴⊙O的半徑為2；
（3）解：連結(jié)EF、DF，如圖，
在Rt△AOD中，OD=2，OA=4，
∴∠A=30°，
∵BE為直徑，
∴∠EFB=90°，
∴EF∥BE，
∴∠BEF=∠A=30°，
∴BF=

1

2

BE=2，
∴BF∥OD，BF=OD，
∴四邊形BODF為平行四邊形，
而OB=OD，
∴四邊形BODF為菱形，
∴BF=DF=OD=2，
∴S_弓形BF=S_弓形DF，F(xiàn)C=BC-BF=3-2=1，
在Rt△DCF中，DC=

DF2-FC2

=

3

，
∴圖中兩部分的陰影面積和=S_△DCF=

1

2

×1×

3

=

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及扇形的面積公式．