Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A（－1，0），與y軸交于C（0，－2）；直線經(jīng)過點(diǎn)A且與拋物線交于另一點(diǎn)B．

（1）直接寫出拋物線的解析式 ；

（2）如圖（1），點(diǎn)M是拋物線上A，B兩點(diǎn)間的任一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥AB于點(diǎn)N，試求出MN的最大值 ，并求出MN最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖（2），連接AC，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)Q為對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于點(diǎn)F，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得∠FQP＝∠CAO．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－x－2 ；（2）；M（，）；（3）存在；（，）或（，）

【解析】

（1）把A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝x2＋bx＋c求出b，c的值即可；

（2）過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，設(shè)M(m，m2－m－2)，則E(m，m＋),可求出ME＝－m2＋m＋，證明△AED∽△MEN得MN＝－m2＋m＋，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）點(diǎn)Q有兩個(gè)位置，使得∠FQP＝∠CAO，分別求出此時(shí)PQ的解析式，與拋物線方程聯(lián)立方程組，求出方程組的解即為Q點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）將A（-1,0），C（0，-2）代入解析中得

，解得

∴拋物線的解析式為y＝x2－x－2，

（2）如圖，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E.

設(shè)M(m，m2－m－2) (－1≤m≤)，

則E(m，m＋),

ME＝(m＋)－(m2－m－2)＝－m2＋m＋.

在△AED與△MEN中，∠AED＝∠MEN，∠ADE＝∠MNE，

∴△AED∽△MEN，

∴，

∴MN＝ME＝(－m2＋m＋)＝－m2＋m＋ (－1≤m≤)，

∴當(dāng)時(shí)，MN最大，為，

此時(shí)M（，）.

（3）存在，

由題易知，拋物線的對(duì)稱軸為直線，

過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G，連接OP，

容易發(fā)現(xiàn)OG＝OA＝1，PG＝OC＝2，∠PGO＝∠COA＝90°，

∴△PGO≌△COA，

∴∠POG＝∠CAO，

延長(zhǎng)PO交拋物線于點(diǎn)Q1，過Q1作Q1F1⊥x軸于點(diǎn)F1，

此時(shí)∠F1Q1P＝∠POG＝∠CAO.

易知直線OP的解析式為,

令，

解得，（舍去），

∴.

同理，在y軸上找一點(diǎn)O′，使O′G＝OG＝1，

容易證明△PGO′≌△COA，

∴∠PO′G＝∠CAO，

延長(zhǎng)PO′交拋物線于點(diǎn)Q2，

過點(diǎn)Q2作Q2F2⊥x軸于點(diǎn)F2，

此時(shí)，∠F2Q2P＝∠PO′G＝∠CAO.

易知直線O′P的解析式為，

令，

解得，（舍去），

∴.

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）.