【題目】(實(shí)驗(yàn)操作)如圖①,在中,,現(xiàn)將邊沿的平分線翻折,點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處;再將線段沿翻折到線段,連接.
(探究發(fā)現(xiàn))若點(diǎn),,三點(diǎn)共線,則的大小是______,的大小是________,此時(shí)三條線段,,之間的數(shù)量關(guān)系是________.
(應(yīng)用拓展)如圖②,將圖①中滿足(實(shí)驗(yàn)操作)與(探究發(fā)現(xiàn))的的邊延長至,使得,連接,直接寫出的度數(shù).
【答案】【探究發(fā)現(xiàn)】60°,100°,BC=BD+AD;【應(yīng)用拓展】∠BCE=10°.
【解析】
探究發(fā)現(xiàn):根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠ADB=∠BDA1,∠A1DC=∠CDA2,由B、D、A2在一條直線上可得∠CDA2=∠ADB,可得∠ADB=∠BDA1=∠A1DC=∠CDA2,根據(jù)平角定義可求出∠CDA2的度數(shù)即可得∠ADB的度數(shù);根據(jù)外角性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠BAC的度數(shù);根據(jù)折疊性質(zhì)可得AD=A1D=A2D,可得BD+AD=BA2,根據(jù)折疊性質(zhì)可求出∠A2CB=∠BA2C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得BC=BD+AD;應(yīng)用拓展:以BC為邊,在△ABC外作等邊△BCD,連接AD,利用SSS可證明△ABD≌△ACD,可得∠ADB=∠ADC=∠BDC=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠ABC=∠ACB=40°,可得∠ACD=∠BAC=100°,由AE=BC可得AE=CD,利用SAS可證明△AEC≌△CDA,可得∠AEC=∠ADC=30°,利用外角性質(zhì)求出∠BCE的度數(shù)即可.
探究發(fā)現(xiàn):
∵邊沿的平分線翻折,點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處,
∴∠ADB=∠A1DB,
∵線段沿翻折到線段,
∴∠A1DC=∠A2DC,
∵B、D、A2三點(diǎn)共線,
∴∠ADB=∠A2DC,
∴∠A1DB=∠A1DC=∠A2DC,
∴∠A1DB=×180°=60°,
∴∠ADB=60°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=(180°-∠BAC),
∵BD是∠ABC的角平分線,
∴∠ABD=∠ABC=(180°-∠BAC),
∴∠BDC=∠ABD+∠BAC=(180°-∠BAC)+∠BAC=120°,
解得:∠BAC=100°,
根據(jù)折疊性質(zhì)得:∠BA1D=∠BAC=100°,AD=A1D=A2D,∠BCA=∠ACA2=40°,
∴BD+AD=BD+A2D=BA2,∠A2=∠DA2C=180°-∠BA1D=80°,∠BCA2=2∠BCA=80°,
∴∠A2=∠BCA2,
∴BC=BA2,
∴BC=BD+AD.
故答案為:60°,100°,BC=BD+AD
應(yīng)用拓展:
以BC為邊,在△ABC外作等邊△BCD,連接AD,
∴BC=BD=CD,
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠ADB=∠ADC=∠BDC=30°,
∵∠ACB=∠ABC=40°,△BCD是等邊三角形,
∴∠DCA=∠BAC=100°,
∵AE=BC,
∴AE=CD,
在△AEC和△CDA中,,
∴△AEC≌△CDA,
∴∠AEC=∠ADC=30°,
∴∠BCE=∠ABC-∠AEC=40°-30°=10°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一只螞蟻在網(wǎng)格(每小格邊長為1)上沿著網(wǎng)格線運(yùn)動.它從格點(diǎn)處出發(fā)去看望格點(diǎn)B、C、D等處的螞蟻,規(guī)定:向上向右走均為正,向下向左走均為負(fù).如:從A到B記為:,從B到A記為:,其中第一個(gè)數(shù)表示左右方向,第二個(gè)數(shù)表示上下方向.
(1)填空:圖中,;
(2)若這只螞蟻從A處去M處的螞蟻的行走路線依次為,,,,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(________,________);
(3)若圖中另有兩個(gè)格點(diǎn)Р、Q,且,,則從Q到A記為________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D在斜邊AB上,且AD=AC,過點(diǎn)B作BE⊥CD,交直線CD于點(diǎn)E.
(1)求∠BCD的度數(shù);
(2)作AF⊥CD于點(diǎn)F,求證:△AFD≌△CEB;
(3)請直接寫出CD與BE的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,交于,平分交于,為延長線上一點(diǎn),交的延長線于,的延長線交于,連接,下列結(jié)論:①;②∠AGH=∠BAE+∠ACB;③,其中正確的結(jié)論有( )個(gè).
A.0B.1C.2D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖①,圖②都是由四條邊長均為1的小四邊形構(gòu)成的網(wǎng)格,每個(gè)小四邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)O,M,N,A,B均在格點(diǎn)上,請僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖(保留連線痕跡).
(1)在圖①中,畫出△OMP≌△ONP,要求點(diǎn)P在格點(diǎn)上.
(2)在圖②中,畫一個(gè)Rt△ABC,∠ACB=90°,要求點(diǎn)C在格點(diǎn)上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】實(shí)驗(yàn)中學(xué)為了了解今年參加中招考試九年級300名學(xué)生的體育成績,特對學(xué)生參加課外鍛煉的情況進(jìn)行了摸底,隨機(jī)對九年級30名學(xué)生一周內(nèi)平均每天參加課外鍛煉的時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查,結(jié)果如下:(單位:分鐘)
(1)補(bǔ)全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.
(2)填空:在這個(gè)問題中,總體是___________,樣本是_________.
由統(tǒng)計(jì)分析得,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是39.37(分),眾數(shù)是______,中位數(shù)是______.
(3)如果描述該校300名學(xué)生一周內(nèi)平均每天參加課外鍛煉時(shí)間的總體情況,你認(rèn)為用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一個(gè)量比較合適?
(4)估計(jì)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級有多少名學(xué)生,平均每天參加課外鍛煉的時(shí)間多于30分鐘?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,BD=2AD,E、F、G分別是OC、OD、AB的中點(diǎn),下列結(jié)論:①∠OBE=∠ADO;②EG=EF;③GF平分∠AGE;④EF⊥GE,其中正確的是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:四邊形ABCD是一張矩形紙片,AB=3cm,BC=5cm
(1)在矩形ABCD的邊AD上找一點(diǎn)E,使CE平分∠BED,請利用刻度尺或圓規(guī)作出點(diǎn)E,寫出作法,并給出證明;
(2)把矩形紙片沿某直線剪一刀分成兩部分后,再用這兩部分拼成一個(gè)菱形,請畫出剪拼的示意圖,并求出菱形的較長對角線的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn),BD是對角線,AG∥DB交CB的延長線于G.
(1)求證:△CDB≌△BAG.
(2)如果四邊形BFDE是菱形,那么四邊形AGBD是什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論.
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