Question

問題：能比較兩個數(shù)2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小嗎？為了解決這個問題，我們先把它抽象成數(shù)學問題，寫出它的一般彤式，即比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大�。╪是正整數(shù)），然后，我們從分析n=1，n=2，n=3，…這些簡單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論．
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數(shù)的大小（在空格內(nèi)填寫“＞”“=”或“＜”）．
①1²

＜

2¹；
②2³

＜

3²；
③3⁴

＞

4³；
④4⁵

＞

5⁴；
⑤5⁶

＞

6⁵．
（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可猜想出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是

當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．
（3）根據(jù)上面的歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下面兩個數(shù)的大�。�2009²⁰¹⁰

＞

2010²⁰⁰⁹．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義分別進行計算即可得解；
（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果分情況解答；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論解答即可．

解答：解：（1）①1²=1＜2¹=2；
②2³=8＜3²=9；
③3⁴=81＞4³=64；
④4⁵=1024＞5⁴=625；
⑤5⁶=15625＞6⁵=7776；…

（2）當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2010＞3，
∴2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹．
故答案為：（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；（3）＞．

點評：本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的大小比較，理解有理數(shù)的乘方的意義準確計算是解題的關(guān)鍵．