Question

【題目】已知：直線y＝x+3與x軸、y軸分別相于點A和點B，點C在線段AO上．

將△CBO沿BC折疊后，點O恰好落在AB邊上點D處

（1）求直線BC的解析式；

（2）求點D的坐標(biāo)；

（3）P為平面內(nèi)一動點，且以A、B、C、P為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出點P坐標(biāo)　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x+3；（2）（﹣，）；（3）（﹣，3）或（，3）或（﹣，﹣3）．

【解析】

（1）先求出OA，OB，再利用勾股定理即可求出AB＝5，由折疊的性質(zhì)得出DC＝OC，DB＝OB＝3，∠BDC＝∠BOC＝90°，設(shè)OC＝DC＝x，則AC＝4－x，由勾股定理得出方程，求出OC的長，得出點C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法即可得出答案；

（2）作DM⊥OA于M，則DM∥OB，得出△ADM∽△ABO，得，求出AM＝，DM＝，得出OM＝OA－AM＝4－＝，即可得出答案；

（3）分三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵直線，當(dāng)x＝0時，y＝3；當(dāng)y＝0時，x＝－4；

∴A（－4，0），B（0，3），

∴OA＝4，OB＝3，

∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，

由折疊的性質(zhì)得：DC＝OC，DB＝OB＝3，∠BDC＝∠BOC＝90°，

∴AD＝AB－DB＝5－3＝2，∠ADC＝90°，

設(shè)OC＝DC＝x，則AC＝4－x，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：22+x2＝(4－x)2，

解得：x＝，

∴OC＝，

∴C（，0），

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

把點B（0，3）、C（，0）代入得：，

解得：，

∴直線BC的解析式為y＝2x+3；

（2）由（1）得：AD＝2，作DM⊥OA于M，如圖所示：

則DM∥OB，

∴△ADM∽△ABO，

∴，即，

解得：AM＝，DM＝，

∴OM＝OA－AM＝4－＝，

∴點D的坐標(biāo)為；

（3）如圖所示：

由（1）知，A（－4，0），B（0，3），C（，0），AC＝4－=，

∵以A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，

①當(dāng)AC為邊時，BP∥AC，BP＝AC＝，

∴P（，3）或（，3）；

②當(dāng)AC為對角線時，點B向下平移3個單位，再向左平移個單位得到C，

∴點A向下平移3個單位，再向左平移個單位得到點P的坐標(biāo)（－4－，0－3），

∴P（－，－3），

即：點P的坐標(biāo)為（，3）或（，3）或（－，－3）；

故答案為：（，3）或（，3）或（－，－3）．