Question

19．已知，如圖，?ABCD中，BC=8cm，CD=4cm，∠B=60°，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，過(guò)M作MF⊥CD，垂足為F，延長(zhǎng)FM交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接EN，交AD于點(diǎn)O，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△AEM≌△DFM？
（2）連接AN，MN，設(shè)四邊形ANME的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形ANME的面積是?ABCD面積的$\frac{21}{32}$？若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在，說(shuō)明理由；
（4）連接AC，交EN于點(diǎn)P，當(dāng)EN⊥AD時(shí)，求線段OP的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的性質(zhì)可知AM=MD=4，故此得到2t=4，于是可求得t的值；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G．在Rt△ABG中依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AG的長(zhǎng)，由題意可得到AM=8-2t，然后再△AEM中依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AE、ME的長(zhǎng)，最后依據(jù)y=S_△ANM+S_△AEM可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒時(shí)，四邊形ANME的面積是?ABCD面積的$\frac{21}{32}$，根據(jù)題意列方程求解即可；
（4）過(guò)A作AG⊥BC，垂足為G．由（2）可知AE=4-t，從而得到BE的長(zhǎng)，然后在△AGB和△BNE中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得NB的長(zhǎng)（含t的式子），接下來(lái)依據(jù)BN=t列出關(guān)于t的方程，從而可求得t的值，于是可求得AO、NC的長(zhǎng)，最后證明△AOP∽△CNP，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得OP的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC=8．
∵△AEM≌△DFM，
∴AM=MD=4．
∴2t=4．
∴t=2．
（2）如圖1所示：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G．

∵∠AGB=90°，∠A=60°，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$/
∵M(jìn)D=2t，
∴AM=8-2t．
∵AB∥CD，MF⊥CD，
∴MF⊥AB．
∴∠MEA=90°．
∵AD∥BC，
∴∠EAM=∠B=60°．
∴AE=$\frac{1}{2}$AM=4-t，ME=$\sqrt{3}$（4-t）．
∴y=S_△ANM+S_△AEM=$\frac{1}{2}$×（8-2t）×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\sqrt{3}$×（4-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-6$\sqrt{3}$t+16$\sqrt{3}$．
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-6$\sqrt{3}$t+16$\sqrt{3}$．
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒時(shí)，四邊形ANME的面積是?ABCD面積的$\frac{21}{32}$．
根據(jù)題意得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-6$\sqrt{3}$t+16$\sqrt{3}$=$\frac{21}{32}$×8×2$\sqrt{3}$．
整理得：t²-12t+11=0．
解得t=1或t=11（舍去）．
所以當(dāng)t=1時(shí)，四邊形ANME的面積是?ABCD面積的$\frac{21}{32}$．
（4）如圖2所示：過(guò)A作AG⊥BC，垂足為G．

∵由（2）可知AE=4-t．
∴BE=AB+AE=8-t．
∵∠B=60°，EN⊥BC，AG⊥BC，
∴BN=$\frac{1}{2}$BE=4-$\frac{1}{2}$t，BG=$\frac{1}{2}$AB=2．
又∵BN=t，
∴4-$\frac{1}{2}$t=t．
解得：t=$\frac{8}{3}$．
∴GN=BN-BG=$\frac{2}{3}$．
∴AO=$\frac{2}{3}$，NC=$\frac{16}{3}$．
設(shè)PO=x，則PN=2$\sqrt{3}$-x．
∵AO∥NC，
∴△AOP∽△CNP．
∴$\frac{OA}{NC}=\frac{OP}{PN}$，即$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{16}{3}}=\frac{x}{2\sqrt{3}-x}$．
解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
∴OP的長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了全等三角形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值、三角形的面積公式、相似三角形的性質(zhì)和判定，用含t的式子表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．