Question

6．如圖，在圓的正中央擺放著一個正方形DEFG，且正方形的頂點D在弦AC上、對角線EG在直徑AB上．若EG=4，AB=8，則AC=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 連接BC、DF，DF與AB交于點O，由題意點O為圓心，由△AOD∽△ACB，得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AO}$，由此即可解決問題．

解答 解：如圖連接BC、DF，DF與AB交于點O，由題意點O為圓心．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴EG⊥DF，∠AOD=∠ACB=90°，
在RT△AOD中，∵AO=4，DO=2，
∴AD=$\sqrt{A{O}^{2}+D{O}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠DAO=∠BAC，
∴△AOD∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AO}$，
∴$\frac{8}{2\sqrt{5}}=\frac{AC}{4}$，
∴AC=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
故答案為$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是利用相似三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為方程解決問題，屬于中考�？碱}型．