Question

已知A（-1，0），B（0，-3），點C與點A關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，經(jīng)過點C的直線與y軸交于點D，與直線AB交于點E，且E點在第二象限．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點D（0，1），過點B作BF⊥CD于F，連接BC，求∠DBF的度數(shù)及△BCE的面積；
（3）若點G（G不與C重合）是動直線CD上一點，且BG=BA，試探究∠ABG與∠ACE之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx-3，將點A（-1，0）代入求得k值即可求得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)點C的坐標(biāo)求得OC=1．由D（0，1），得OD=1．求得直線CD的解析式為y=-x+1然后與直線y=3x-3聯(lián)立即可求得兩直線的交點E的坐標(biāo)，過E作EH⊥y軸于H，則EH=2．再根據(jù)B、D的坐標(biāo)求得BD=4．然后利用S_△BCE=S_△BDE+S_△BDC即可求得三角形BCE的面積．
（3）連接BC，作BM⊥CD于M．設(shè)∠CBO=α，則∠ABO=α，∠ACB=90°-α，∠CBM=β，則∠GBM=β，∠BCG=90°-β．然后分當(dāng)點G在射線CD的反向延長線上時和當(dāng)點G在射線CD的延長線上時兩種情況討論即可得到答案．

解答：解：（1）依題意，設(shè)直線AB的解析式為
y=kx-3
∵A（-1，0）在直線上，
∴0=-k-3．
∴k=-3．
∴直線AB的解析式為y=-3x-3．…（1分）

（2）如圖1，依題意，C（1，0），OC=1．
由D（0，1），得OD=1．
在△DOC中，∠DOC=90°，OD=OC=1．
可得∠CDO=45°．
∵BF⊥CD于F，
∴∠BFD=90°．
∴∠DBF=90°-∠CDO=45°．…（2分）
可求得直線CD的解析式為y=-x+1
由 

y=-3x-3 y=-x+1

 解得

x=-2 y=3

∴直線AB與CD的交點為E（-2，3）．…（3分）
過E作EH⊥y軸于H，則EH=2．
∵B（0，-3），D（0，1），
∴BD=4．
∴S_△BCE=S_△BDE+S_△BDC=

1

2

×4×2+

1

2

×4×1=6…（4分）

（3）連接BC，作BM⊥CD于M．
∵AO=OC，BO⊥AC，
∴BA=BC．
∴∠ABO=∠CBO．
設(shè)∠CBO=α，則∠ABO=α，∠ACB=90°-α．
∵BG=BA，
∴BG=BC．
∵BM⊥CD，
∴∠CBM=∠GBM．
設(shè)∠CBM=β，則∠GBM=β，∠BCG=90°-β．
（i） 如圖2，當(dāng)點G在射線CD的反向延長線上時，
∵∠ABG=2α+2β=2（α+β）
∠ECA=180°-（90°-α）-（90°-β）=α+β
∴∠ABG=2∠ECA．…（6分）
（ii） 如圖3，當(dāng)點G在射線CD的延長線上時，
∵∠ABG=2α-2β=2（α-β）
∠ECA=（90°-β）-（90°-α）=α-β
∴∠ABG=2∠ECA．…（7分）
綜上，∠ABG=2∠ECA．
說明：第（3）問兩種情況只要做對一種給 （2分）；累計（3分）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識，題目中滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想，題目難度較大．