【題目】在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識后,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們又進(jìn)一步對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.
(一)嘗試探究
如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠ABC=∠ADC=90°,點E、F分別在線段BC、CD上,∠EAF=30°,連接EF.
(1)如圖2,將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′(A′B′與AD重合),請直接寫出∠E′AF=度,線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)如圖3,當(dāng)點E、F分別在線段BC、CD的延長線上時,其他條件不變,請?zhí)骄烤段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】
(1)30;BE+DF=EF
(2)解:如圖3,在BE上截取BG=DF,連接AG,
在△ABG和△ADF中,
,
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠BAG=∠DAF,且AG=AF,
∵∠DAF+∠DAE=30°,
∴∠BAG+∠DAE=30°,
∵∠BAD=60°,
∴∠GAE=60°﹣30°=30°,
∴∠GAE=∠FAE,
在△GAE和△FAE中,
,
∴△GAE≌△FAE(SAS),
∴GE=FE,
又∵BE﹣BG=GE,BG=DF,
∴BE﹣DF=EF,
即線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為BE﹣DF=EF
(二)拓展延伸
如圖4,在等邊△ABC中,E、F是邊BC上的兩點,∠EAF=30°,BE=1,將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′E′(A′B′與AC重合),連接EE′,AF與EE′交于點N,過點A作AM⊥BC于點M,連接MN,求線段MN的長度.
解:如圖4,將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′E′,則
AE=AE′,∠EAE′=60°,
∴△AEE′是等邊三角形,
又∵∠EAF=30°,
∴AN平分∠EAF,
∴AN⊥EE′,
∴直角三角形ANE中, = ,
∵在等邊△ABC中,AM⊥BC,
∴∠BAM=30°,
∴ = ,且∠BAE+∠EAM=30°,
∴ = ,
又∵∠MAN+∠EAM=30°,
∴∠BAE=∠MAN,
∴△BAE∽△MAN,
∴ = ,即 = ,
∴MN=
【解析】解:(一)(1)如圖2,將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′,則
∠1=∠2,BE=DE′,AE=AE′,
∵∠BAD=60°,∠EAF=30°,
∴∠1+∠3=30°,
∴∠2+∠3=30°,即∠FAE′=30°
∴∠EAF=∠FAE′,
在△AEF和△AE′F中,
,
∴△AEF≌△AE′F(SAS),
∴EF=E′F,即EF=DF+DE′,
∴EF=DF+BE,即線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為BE+DF=EF,
所以答案是:30,BE+DF=EF;
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點B落在CD邊上的點P處(如圖1).
(1)如圖2,設(shè)折痕與邊BC交于點O,連接,OP、OA.已知△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長;
(2)動點M在線段AP上(不與點P、A重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN、CA,交于點F,過點M作ME⊥BP于點E.
①在圖1中畫出圖形;
②在△OCP與△PDA的面積比為1:4不變的情況下,試問動點M、N在移動的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?請你說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著人們“節(jié)能環(huán)保,綠色出行”意識的增強(qiáng),越來越多的人喜歡騎自行車出行,也給自行車商家?guī)砩虣C(jī).某自行車行經(jīng)營的A型自行車去年銷售總額為8萬元.今年該型自行車每輛售價預(yù)計比去年降低200元.若該型車的銷售數(shù)量與去年相同,那么今年的銷售總額將比去年減少10%,求:
(1)A型自行車去年每輛售價多少元?
(2)該車行今年計劃新進(jìn)一批A型車和新款B型車共60輛,且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍.已知,A型車和B型車的進(jìn)貨價格分別為1500元和1800元,計劃B型車銷售價格為2400元,應(yīng)如何組織進(jìn)貨才能使這批自行車銷售獲利最多?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=AD=5,BC=4,M、N、E分別是AB、AD、CB上的點,AM=CE=1,AN=3,點P從點M出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿折線MB﹣BE向點E運動,同時點Q從點N出發(fā),以相同的速度沿折線ND﹣DC﹣CE向點E運動,當(dāng)其中一個點到達(dá)后,另一個點也停止運動.設(shè)△APQ的面積為S,運動時間為t秒,則S與t函數(shù)關(guān)系的大致圖象為( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)生在素質(zhì)教育基地進(jìn)行社會實踐活動,幫助農(nóng)民伯伯采摘了黃瓜和茄子共40kg,了解到這些蔬菜的種植成本共42元,還了解到如下信息:
(1)請問采摘的黃瓜和茄子各多少千克?
(2)這些采摘的黃瓜和茄子可賺多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為2,其面積標(biāo)記為S1 , 以CD為斜邊作等腰直角三角形,以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形,其面積標(biāo)記為S2 , …,按照此規(guī)律繼續(xù)下去,則S9的值為( )
A.( )6
B.( )7
C.( )6
D.( )7
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線l1經(jīng)過(2,3)和(﹣1,﹣3),直線l2經(jīng)過原點O,且與直線l1交于點P(﹣2,a).
(1)求a的值;
(2)(﹣2,a)可看成怎樣的二元一次方程組的解?
(3)設(shè)直線l1與y軸交于點A,你能求出△APO的面積嗎?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2013年四川南充3分)如圖,把矩形ABCD沿EF翻折,點B恰好落在AD邊的B′處,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,則矩形ABCD的面積是【 】
A.12 B. 24 C. 12 D. 16
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:已知在△ABC中,AB=AC,D為BC邊的中點,過點D作DE⊥AB,DF⊥AC,,垂足分別為E,F.
(1)求證:△BED≌△CFD;
(2)若∠A=90°,求證:四邊形DFAE是正方形.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com