Question

如圖，EF是平行四邊ABCD的對(duì)角線BD的垂直平分線，EF與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F． 
（1）求證：四邊形BFDE是菱形；
（2）若E為線段AD的中點(diǎn)，求證：AB⊥BD．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，
又∵ED∥BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴?BEDF是菱形．

（2）∵四邊形BFDE是菱形
∴BE=ED，
∵E為線段AD的中點(diǎn)，
∴△ABE為直角三角形，
∴AB⊥BD．
分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD∥BC，OB=OD，易證得△OED≌△OFB，可得DE=BF，即可證得四邊形BEDF是平行四邊形，又由EF⊥BD，即可證得四邊形BEDF是菱形．
（2）根據(jù)證得的菱形可知，BE=ED，然后再利用E為線段AD的中點(diǎn)，即可證得三角形ABD為直角三角形，從而證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，證明簡(jiǎn)單的線段相等，一般是通過(guò)全等三角形來(lái)證明的．