【題目】如圖,拋物線yax2+bx+4x軸于A(﹣3,0),B4,0)兩點,與y軸交于點C,連接ACBC.點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點,點P的橫坐標為m

1)求此拋物線的表達式;

2)過點PPMx軸,垂足為點M,PMBC于點Q.試探究點P在運動過程中,是否存在這樣的點Q,使得以A,CQ為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,請求出此時點Q的坐標,若不存在,請說明理由;

3)過點PPNBC,垂足為點N.請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長,并求出當m為何值時PN有最大值,最大值是多少?

【答案】12)存在,點Q的坐標為:Q1,3)或(,);(3PN=﹣m22+,當m2時,PN的最大值為

【解析】

1)由二次函數(shù)交點式表達式,即可求解;

2)分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三種情況,利用方程或方程組求解即可得到答案;

3)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到:PN=PQsinPQN=即可求解.

解:(1 拋物線yax2+bx+4x軸于A(﹣30),B40)兩點,

即:﹣12a4,解得:

則拋物線的表達式為

2)存在,理由:

A、BC的坐標分別為(﹣3,0)、(4,0)、(0,4),

AC5,AB7BC,∠OBC=∠OCB45°,

將點BC的坐標代入一次函數(shù)表達式:ykx+b并解得:y=﹣x+4…①,

同理可得直線AC的表達式為:,

①當ACAQ時,如圖1,

ACAQ5,

設:QMMBn,則AM7n,

由勾股定理得:

解得:n34(舍去4),

故點Q1,3);

②當ACCQ時,如圖1,

CQ5,則BQBCCQ

QMMB,

故點Q);

③當CQAQ時,則的垂直平分線上,

設直線AC的中點為K2),

過點 CA垂直直線的表達式中的k值為,

直線的表達式為: ②,

聯(lián)立①②并解得:(舍去);

故點Q的坐標為:Q1,3)或();

3)設點,則點Qm,﹣m+4),

OBOC,∴∠ABC=∠OCB45°=∠PQN,

PNPQsinPQN

PN有最大值,

m2時,PN的最大值為:

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某電工想換房間的燈泡,已知燈泡到地面的距離為,現(xiàn)有一架家用可調(diào)節(jié)式腳踏人字梯,其中踏板、地面都是水平的.梯子的側(cè)面簡化結(jié)構(gòu)如圖所示,左右支撐架長度相等,.設梯子一邊與地面的夾角為,且可調(diào)節(jié)的范圍為.當時,電工站在梯子安全擋中最高一檔踏板上的最大觸及高度為

1)當時,求踏板離地面的高度.(精確到

2)調(diào)節(jié)角度,試判斷電工是否可以換下燈泡,并說明理由.(參考數(shù)據(jù):,

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AB=5,BC=3,P從點D出發(fā),沿DC,CB向終點B勻速運動.設點P所走過的路程為x,點P所經(jīng)過的線段與AD,AP所圍成的圖形的面積為y,yx的變化而變化.在下列圖象中,能正確反映yx的函數(shù)關系的是(

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)y1x+4的圖象與反比例函數(shù)y2的圖象交于A(﹣1,a),B兩點,與x軸交于點C

1)求k

2)根據(jù)圖象直接寫出y1y2時,x的取值范圍.

3)若反比例函數(shù)y2與一次函數(shù)y1x+4的圖象總有交點,求k的取值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示是我國古代城市用以滯洪或分洪系統(tǒng)的局部截面原理圖,圖中OP為下水管道口直徑,OB為可繞轉(zhuǎn)軸O自由轉(zhuǎn)動的閥門.平時閥門被管道中排出的水沖開,可排出城市污水;當河水上漲時,閥門會因河水壓迫而關閉,以防河水倒灌入城中.若閥門的直徑OBOP100cmOA為檢修時閥門開啟的位置,且OAOB

1)直接寫出閥門被下水道的水沖開與被河水關閉過程中∠POB的取值范圍;

2)為了觀測水位,當下水道的水沖開閥門到達OB位置時,在點A處測得俯角∠CAB67.5°,若此時點B恰好與下水道的水平面齊平,求此時下水道內(nèi)水的深度.(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)

1.41,sin67.5°=0.92cos67.5°0.38,tan67.5°=2.41sin22.5°=0.38,cos22.5°=0.92,tan22.5°=0.41

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某公司為了到高校招聘大學生,為此設置了三項測試:筆試、面試、實習.學生的最終成績由筆試面試、實習依次按325的比例確定.公司初選了若干名大學生參加筆試,面試,并對他們的兩項成績分別進行了整理和分析.下面給出了部分信息:

①公司將筆試成績(百分制)分成了四組,分別為A組:60≤x70,B組:70≤x80,C組:80≤x90,D組:90≤x100;并繪制了如下的筆試成績頻數(shù)分布直方圖.其中,C組的分數(shù)由低到高依次為:80,8182,83,83,8484,85,86,88,8888,89

②這些大學生的筆試、面試成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、最高分如下表:

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

最高分

筆試成績

81

m

92

97

面試成績

80.5

84

86

92

根據(jù)以上信息,回答下列問題:

1)這批大學生中筆試成績不低于88分的人數(shù)所占百分比為   

2m   分,若甲同學參加了本次招聘,他的筆試、面試成績都是83分,那么該同學成績排名靠前的是   成績,理由是   

3)乙同學也參加了本次招聘,筆試成績雖不是最高分,但也不錯,分數(shù)在D組;面試成績?yōu)?/span>88分,實習成績?yōu)?/span>80分由表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知乙同學的筆試成績?yōu)?/span>   分;若該公司最終錄用的最低分數(shù)線為86分,請通過計算說明,該同學最終能否被錄用?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】A、B兩組卡片共5張,A組的三張分別寫有數(shù)字2,4,6,B組的兩張分別寫有3,5.它們除了數(shù)字外沒有任何區(qū)別,

1隨機從A組抽取一張,求抽到數(shù)字為2的概率;

2隨機地分別從A組、B組各抽取一張,請你用列表或畫樹狀圖的方法表示所有等可能的結(jié)果.現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則:若選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù),則甲獲勝;否則乙獲勝.請問這樣的游戲規(guī)則對甲乙雙方公平嗎?為什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某興趣小組為了解我市氣溫變化情況,記錄了今年月份連續(xù)天的最低氣溫(單位:):.關于這組數(shù)據(jù),下列結(jié)論不正確的是(

A.平均數(shù)是 B.中位數(shù)是 C.眾數(shù)是 D.方差是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】央視經(jīng)典詠流傳開播以來受到社會廣泛關注.我市某校就中華文化我傳承——地方戲曲進校園的喜愛情況進行了隨機調(diào)查,對收集的信息進行統(tǒng)計,繪制了下面兩副尚不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖所提供的信息解答下列問題:

圖中A表示很喜歡”,B表示喜歡”,C表示一般”,D表示不喜歡”.

(1)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是_____________人,扇形統(tǒng)計圖中C部分所對應的扇形圓心角的度數(shù)為_______.

(2)補全條形統(tǒng)計圖;

(3)若該校共有學生1800人,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計該校學生中A類有__________人;

(4)在抽取的A5人中,剛好有3個女生2個男生,從中隨機抽取兩個同學擔任兩角色,用樹形圖或列表法求出被抽到的兩個學生性別相同的概率.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案