Question

【題目】如圖1，拋物線y=x2﹣2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．[圖2、圖3為解答備用圖]

（1）k= ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；

（2）設(shè)拋物線y=x2﹣2x+k的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；

（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（4）在拋物線y=x2﹣2x+k上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）﹣3，（﹣1，0），（3，0）；（2）9；

（3）存在點(diǎn)D（，），使四邊形ABDC的面積最大為．

（4）在拋物線上存在點(diǎn)Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）把C（0，﹣3）代入拋物線解析式可得k值，令y=0，可得A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）過M點(diǎn)作x軸的垂線，把四邊形ABMC分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形，求它們的面積和；

（3）設(shè)D（m，m2﹣2m﹣3），連接OD，把四邊形ABDC的面積分成△AOC，△DOC，△DOB的面積和，求表達(dá)式的最大值；（4）有兩種可能：B為直角頂點(diǎn)、C為直角頂點(diǎn)，要充分認(rèn)識△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通過解直角三角形求出相關(guān)線段的長度．

解：（1）把C（0，﹣3）代入拋物線解析式y=x2﹣2x+k中得k=﹣3

∴y=x2﹣2x﹣3，

令y=0，

即x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點(diǎn)為M（1，﹣4），連接OM．

則△AOC的面積=，△MOC的面積=，

△MOB的面積=6，

∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9．

說明：也可過點(diǎn)M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面

積轉(zhuǎn)化為求1個(gè)梯形與2個(gè)直角三角形面積的和．

（3）如圖（2），設(shè)D（m，m2﹣2m﹣3），連接OD．

則0＜m＜3，m2﹣2m﹣3＜0

且△AOC的面積=，△DOC的面積=m，

△DOB的面積=﹣（m2﹣2m﹣3），

∴四邊形ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積

=﹣m2+m+6

=﹣（m﹣）2+．

∴存在點(diǎn)D（，），使四邊形ABDC的面積最大為．

（4）有兩種情況：

如圖（3），過點(diǎn)B作BQ1⊥BC，交拋物線于點(diǎn)Q1、交y軸于點(diǎn)E，連接Q1C．

∵∠CBO=45°，

∴∠EBO=45°，BO=OE=3．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）．

∴直線BE的解析式為y=﹣x+3．

由

解得

∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（﹣2，5）．

如圖（4），過點(diǎn)C作CF⊥CB，交拋物線于點(diǎn)Q2、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ2．

∵∠CBO=45°，

∴∠CFB=45°，OF=OC=3．

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

∴直線CF的解析式為y=﹣x﹣3．

由

解得

∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

綜上，在拋物線上存在點(diǎn)Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形．

說明：如圖（4），點(diǎn)Q2即拋物線頂點(diǎn)M，直接證明△BCM為直角三角形同樣可以．