Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x-3交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，-5），點(diǎn)P為y軸左側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）以O，B，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形是否存在？如存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線AB下方某一處時(shí)，△PAB的面積是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x-3（2）存在，（-2-，-1-），（-1，-），（-3，-）（3）（-2，-8）

【解析】

（1）由題意可得點(diǎn)B（0，-3），將點(diǎn)B，點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式，可求拋物線解析式；

（2）設(shè)P（m，m2+m-3），則點(diǎn)D（m，m-3），可得PD=|m2+4m|，以O，B，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形且OB∥PD，可得PD=|m2+4m|=OB=3，可求m的值，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P（x，x2+x-3），則點(diǎn)D（x，x-3），則PD=-x2-4x，由題意可得S△PAB=×PD×4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可求△PAB的面積的最大值．

（1）∵直線y=x-3交y軸于點(diǎn)B

∴B（0，-3），

∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，-5），點(diǎn)B（0，-3）

∴

解得：b=，c=-3

∴拋物線解析式y=x2+x-3

（2）存在，

設(shè)P（m，m2+m-3），（m＜0），

∴D（m，m-3），

∴PD=|m2+4m|

∵PD∥BO，

∴當(dāng)PD=OB=3，故存在以O，B，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形，

∴|m2+4m|=3，

①當(dāng)m2+4m=3時(shí)，

∴m1=-2-，m2=-2+（舍），

當(dāng)m=-2-時(shí)，則m2+m-3=-1-

∴P（-2-，-1-），

②當(dāng)m2+4m=-3時(shí)，

∴m1=-1，m2=-3，

當(dāng)m1=-1時(shí)，則m2+m-3=-，

∴P（-1，-），

當(dāng)m2=-3，∴m2+m-3=-，

∴P（-3，-），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2-，-1-），（-1，-），（-3，-）．

（3）設(shè)點(diǎn)P（x，x2+x-3），則點(diǎn)D（x，x-3），

∴PD=x-3-（x2+x-3）=-x2-4x

∵S△APB=×PD×4=-2x2-8x=-2（x+2）2+8

∴當(dāng)x=-2時(shí)，△PAB的面積的最大值為8．

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-2，-8）