Question

【題目】已知直線m，n相交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，C分別為直線m，n上的點(diǎn)，AB=BC=1，且∠ABC=60°，點(diǎn)E是直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是直線n上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終滿足DE=CE．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，求BD的長(zhǎng)．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，試確定線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ABC=60°，AB=BC，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∵點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，

∴∠ECB= ∠ACB=30°，

∵DE=CE，

∴∠EDB=∠ECB=30°，

∵∠ABC=∠EDB+∠DEB，

∴∠DEB=30°=∠EDB，

∴BD=DE= AB=

（2）解：BD=AE；理由如下：

過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，如圖所示：

∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠ACB=60°，

∴∠EFC=120°，∠AFE=∠A，

∴EF=EA，

∵∠ABC=60°，

∴∠EBD=120°，

∴∠EFC=∠EBD，

∵CE=DE，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EDB+∠DEB=∠ECB+∠ECF=60°，

∴∠DEB=∠ECF，

在△EDB和△CEF中， ，

∴△EDB≌△CEF（AAS），

∴BD=EF，

∵EF=EA，

∴BD=AE．

【解析】（1）證明△ABC為等邊三角形，得出∠ACB=∠ABC=60°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ECB= ∠ACB=30°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EDB=30°，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DEB=∠EDB，即可得出結(jié)論；（2過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)得出∠AFE=∠ACB=60°，證出∠EFC=120°，∠AFE=∠A，得出EF=EA，證出∠DEB=∠ECF，由AAS證明△EDB≌△CEF，得出BD=EF，即可得出結(jié)論．