Question

【題目】已知∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）,

觀察：

（1）如圖1，若∠OBA和∠OAB的平分線交于點(diǎn)C，∠ACB＝　 　°

猜想：

（2）如圖2，隨著點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)E，∠E的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠E的度數(shù)；如果會(huì)改變，說(shuō)明理由．

拓展：

（3）如圖3，在（2）基礎(chǔ)上，小明將△ABE沿MN折疊，使點(diǎn)E落在四邊形ABMN內(nèi)點(diǎn)E′的位置．求∠BME′+∠ANE′的度數(shù)．

Answer 1

【答案】觀察：（1）135．猜想：（2）∠E＝45°．拓展：（3）90°．

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠OBA+∠OAB=90°，根據(jù)角平分線的定義計(jì)算即可；

（2）根據(jù)角平分線的定義再進(jìn)行等量代換，計(jì)算即可；

（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可

解：（1）∵∠MON＝90°，

∴∠OAB+∠OBA＝90°，

∵∠OBA和∠OAB的平分線交于點(diǎn)C，

∴∠ABC＝∠OBA，∠BAC＝∠OAB，

∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝45°，

∴∠CBA＝180°﹣45°＝135°

故答案為135．

（2）∵AE是∠BAO的平分線

∴∠BAE＝ ∠BAO，

∵BC是∠ABN的平分線，

∴∠CBA＝∠NBA，

∵∠NBA＝∠O+∠BAO，

∴∠CBA＝（∠O+∠BAO）＝45°+∠BAE，

∵∠CBA＝∠E+∠BAE，

∴∠E+∠BAE＝45°+∠BAE，

即∠E＝45°．

（3）由折疊可得，∠EMN＝∠E′MN，∠E N M＝∠E′NM，

∴2∠EMN+∠BM E′＝180°，2∠ENM+∠ANE′＝180°，

∴∠BM E′＝180°﹣2∠EMN，∠ANE′＝180°﹣2∠ENM，

∴∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），

∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠E，∠E＝45°，

∴∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM）

＝360°﹣2（180°﹣∠E）

＝2∠E

＝90°．