Question

【題目】如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD外接圓上的兩個(gè)點(diǎn)，且EC∥BF，AD與BF的延長線交于點(diǎn)P．

（1）求∠EBF的度數(shù)；

（2）求證：BPBE=AB2．

Answer 1

【答案】（1）45°（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得到弧CAB的度數(shù)=270°，由圓周角定理得到根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠E+∠EBF=180°，可得到∠EBF=45°；

（2）連接BD，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ADB=45°，，AP∥BC，AB=BC，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠PDB=135°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠P=∠PBC=∠ECB，推出△PBD∽△BCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到等量代換即可得到結(jié)論．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴弧CAB的度數(shù)=270°，

∴

∵EC∥BP，

∴∠E+∠EBF=180°，

∴∠EBF=45°；

（2）連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45°，，AP∥BC，AB=BC，

∴∠PDB=135°，

∴∠PDB=∠E，

∵AP∥BC，CE∥PB，

∴∠P=∠PBC=∠ECB，

∴△PBD∽△BCE，

∴

∴

∴