Question

【題目】已知，如圖，拋物線與x軸交點坐標為A（1，0），C（-3，0），

（1）若已知頂點坐標D為（-1，4）或B點（0，3），選擇適當方式求拋物線的解析式.
（2）若直線DH為拋物線的對稱軸，在（1）的基礎上，求線段DK的長度，并求△DBC的面積．
（3）將圖（2）中的對稱軸向左移動，交x軸于點p（m，0）(－3<m<－1)，與線段BC、拋物線的交點分別為點K、Q，用含m的代數(shù)式表示QK的長度，并求出當m為何值時，△BCQ的面積最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：設二次函數(shù)解析式為y=a（x+1）2+4
將B（0，3）代入，得a=-1,
∴二次函數(shù)解析式為y=－x2-2x+3
（2）解：∵C（-3，0），B（0，3）且直線DH是拋物線的對稱軸，
∴OH=2，CO=3，OB=3
∴CH=2
∵D（-1，4）
∴DH=4，
∵ DH∥OB,
∴ △CHK∽△COB ，
∴KH:OB=CH:CO
∴HK∶3=2∶3
∴HK=2 ,
∴DK=DH-KH=4-2=2；
∴S△DBC= DK×OC= ×2×3=3 。
（3）解：設直線BC的解析式為y=kx+b,
將C,B兩點的坐標分別代入得
解得 ,
故直線BC為y=x+3 ,
∵p（m，0） ，
∴ Q(m , -m2-2m+3) , K (m , m+3)
∴ QK=QP-KP=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m.
S△BCQ= QK×|OC|= （-m2-3m）×3=-- .
∴當m= =- 時，面積最大.
【解析】（1）由于題中給出了拋物線的頂點坐標，故設頂點式，然后代入B點的坐標求出待定系數(shù)a的值，從而得出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)C,B ，D三點的坐標及DH是拋物線的對稱軸，得出OH=2，CO=3，OB=3 ，DH=4 ,根據(jù)線段的和差得出CH=2 ，由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得出 △CHK∽△COB ，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出KH:OB=CH:CO ，從而求出KH的長度，根據(jù)線段的和差得出DK的長度；然后利用割補法把三角形DBC的面積轉化為S△DBC= DKOC計算出答案；
（3）首先用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式 ，然后根據(jù)P點的坐標，根據(jù)一次函數(shù)及二次函數(shù)上點的坐標特點得出Q,K的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式得出QK的長度，然后利用S△BCQ= QK×|OC| ，得出面積關于m的函數(shù)解析式，然后利用頂點坐標的橫坐標求出當m= =- 時，面積最大.