Question

在三角形ABC的BC邊上取點A′，CA邊上取點B′，AB邊上取點C′．己知∠AC′B′=∠B′A′C，∠CB′A′=∠A′C′B，∠BA′C′=∠C′B′A，求證：A′、B′和C′分別為三邊之中點．

Answer 1

證明：由已知，得∠1=∠3，∠2=∠5，∠4=∠6，
又∠1+∠6+∠A=∠3+∠4+∠8=180°，
∴∠8=∠A．
同理，得∠B=∠9，∠C=∠7，
∴∠1+∠7=∠3+∠C=∠6+∠9，
∴四邊形AC′A′B′是平行四邊形，
∴AC′=A′B′．
同理BC′=A′B′．
則C′是AB邊之中點．
同理A′、B′分別為BC、AC邊之中點．
分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、平角定義和已知條件可以證明∠A=∠8，∠B=∠9，∠C=∠7，再結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可以證明∠1+∠7=∠6+∠9，再根據(jù)對角相等的四邊形是平行四邊形，得平行四邊形AC′A′B′，平行四邊形A′B′C′B，平行四邊形A′CB′C′，從而證明A′、B′和C′分別為三邊之中點．
點評：此題能夠根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及其推論和已知條件證明有關(guān)的角相等，再進一步結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)進行證明．