Question

如圖，△ABC中，∠A=90°以直角邊AB為邊，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是斜邊BC的高，延長FA使AG=BC．
求證：BG=CD．

Answer 1

分析：如圖，利用正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及對頂角，通過全等三角形的判定定理SAS證得△DBC≌△BAG，則該全等三角形的對應邊相等，即BG=CD．

解答：證明：如圖，∵在直角△BAC中，∠BAC=90°，AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠2=∠3（同角的余角）相等；
又∵四邊形ABDE是正方形，∠1=∠2，
則∠BDA=∠EAB=90°，DB=AB，∠1=∠3，
∴∠DBC=∠DBA+∠3=∠BAE+∠1=∠BAG，即∠DBA=∠BAG，
∴在△DBC與△BAG中，

DB=BA ∠DBC=∠BAG BC=AG

，
∴△DBC≌△BAG（SAS），
∴BG=CD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．