Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)A，B與點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交線段AB于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①求的面積y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)m為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

②若點(diǎn)E是垂線段PD的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）①解析式，當(dāng)m=1時(shí)y有最大值，最大值是3；②P（2,3）或P（）

【解析】

（1）根據(jù)“直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B”可求A，B坐標(biāo)，再將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a，b，c的值，從而得出答案；

（2）①根據(jù)已知可得點(diǎn)P坐標(biāo)，從而可求點(diǎn)E坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可知PE的代數(shù)式，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；②分當(dāng)PE=2ED時(shí)，當(dāng)2PE=ED兩種情況，列方程求解即可得出結(jié)論.

解：（1）∵直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B

∴A（3,0），B（0,3）

將A（3,0），B（0,3），C（-1,0）代入到中有

解得

∴拋物線的解析式為；

（2）①∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且在拋物線上

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）

∵PD⊥x軸

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（m，-m+3）

∴

∴

∴y關(guān)于m的解析式為：

∵

∴當(dāng)m=1時(shí)，y有最大值，最大值是3；

②當(dāng)PE=2ED時(shí)，

即

解得：m=2或m=3（不符合題意舍去）；

當(dāng)2PE=ED時(shí)

即

整理得

解得：，m=3（不符合題意舍去）

將點(diǎn)m=2或m=代入拋物線解析式

∴點(diǎn)P（2,3）或P（）