【題目】如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分,我們把這條直線稱為這個平面圖形的面積等分線.
問題探究
(1)如圖1,△ABC中,點M是AB邊的中點,請你過點M作△ABC的一條面積等分線;
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,AD∥BC,CD⊥AD,AD=2,CD=4,BC=6,點P是AB的中點,點Q在CD上,試探究當CQ的長為多少時,直線PQ是四邊形ABCD的一條面積等分線;
問題解決
(3)如圖3,在平面直角坐標系中,矩形ABCD是某公司將要籌建的花園示意圖,A與原點重合,D、B分別在x軸、y軸上,其中AB=3,BC=5,出入口E在邊AD上,且AE=1,擬在邊BC、AB、CD、上依次再找一個出入口F、G、H,沿EF、GH修兩條筆直的道路(路的寬度不計)將花園分成四塊,在每一塊內(nèi)各種植一種花草,并要求四種花草的種植面積相等.請你求出此時直線EF和GH的函數(shù)表達式.
【答案】(1)詳見解析;(2)當CQ的長為1時,直線PQ是四邊形ABCD的一條面積等分線;(3)直線EF的解析式為y=x﹣1,直線GH的解析式為y=﹣x+.
【解析】
(1)連接CM,得出△ACM的面積=△BCM的面積,得出CM是△ABC的一條面積等分線;
(2)連接PC,作AM⊥BC于M,PN⊥BC于N,則AM∥PN,四邊形AMCD是矩形,求出PN是△ABM的中位線,得出PN=AM=2,得出△BCP的面積=6,由題意得出四邊形PBCQ的面積=梯形ABCD的面積=8,得出△PCQ的面積=2=CQ×CN=CQ×4,解得CQ=1即可;
(3)連接AC、BD交于點P,證明△PCF≌△PAE(ASA),得出CF=AE=1,BF=5﹣1=4,得出E(1,0),F(4,3),由待定系數(shù)法求出直線EF的解析式為y=x﹣1;同理△BPG≌△DPH(ASA),得出BG=DH,求出H(5,),G(0,),由待定系數(shù)法求出直線GH的解析式為y=﹣x+.
解:(1)連接CM,如圖1所示:
∵點M是AB邊的中點,
∴△ACM的面積=△BCM的面積,
∴CM是△ABC的一條面積等分線;
(2)當CQ的長為1時,直線PQ是四邊形ABCD的一條面積等分線;理由如下:
連接PC,作AM⊥BC于M,PN⊥BC于N,如圖2所示:
則AM∥PN,四邊形AMCD是矩形,
∴AM=CD=4,CM=AD=2,
∴BM=BC﹣CM=4,
∵點P是AB的中點,
∴PN是△ABM的中位線,
∴PN=AM=2,MN=BM=2,CN=NM+CM=4
∴△BCP的面積=×6×2=6,
∵梯形ABCD的面積=(AD+BC)×CD=(2+6)×4=16,直線PQ是四邊形ABCD的一條面積等分線;
∴四邊形PBCQ的面積=梯形ABCD的面積=8,
∴△PCQ的面積=8﹣6=2=CQ×CN=CQ×4,
解得:CQ=1,
即當CQ的長為1時,直線PQ是四邊形ABCD的一條面積等分線;
(3)連接AC、BD交于點P,如圖3所示:
∵EF、GH將花園分成四塊,且面積相等,
∴EF、GH經(jīng)過點P,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC=5,CD=AB=3,PA=PC,AD∥BC,
∴∠PCF=∠PAE,
在△PCF和△PAE中,,
∴△PCF≌△PAE(ASA),
∴CF=AE=1,BF=5﹣1=4,
∴E(1,0),F(4,3),
設直線EF的解析式為y=kx+b,
把E(1,0),F(4,3)代入得:,
解得:,
∴直線EF的解析式為y=x﹣1;
同理:△BPG≌△DPH(ASA),
∴BG=DH,
由題意得:△PBG的面積=△PAE的面積,
∴BG×=×1×,
解得:BG=,
∴DH=BG=,
∴H(5,),AG=AB﹣BG=,
∴G(0,),
設直線GH的解析式為y=ax+c,
把G(0,),H(5,)代入得,
解得: ,
∴直線GH的解析式為y=﹣x+.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,E是AB邊上一點,D是AC邊上一點,且點D不與A、C重合,ED⊥AC.
(1)當sinB=時,
①求證:BE=2CD.
②當△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(45°<∠CAD<90°).BE=2CD是否成立?若成立,請給出證明;若不成立.請說明理由.
(2)當sinB=時,將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到∠DEB=90°,若AC=10,AD=2,求線段CD的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】同學張豐用一張長18cm、寬12cm矩形紙片折出一個菱形,他沿矩形的對角線AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到四邊形AECF(如圖).
(1)證明:四邊形AECF是菱形;
(2)求菱形AECF的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】1896年,挪威生理學家古德貝發(fā)現(xiàn),每個人有一條腿邁出的步子比另一條腿邁出的步子長的特點,這就導致每個人在蒙上眼睛行走時,雖然主觀上沿某一方向直線前進,但實際上走出的是一個大圓圈!這就是有趣的“瞎轉(zhuǎn)圈”現(xiàn)象.經(jīng)研究,某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑米是其兩腿邁出的步長之差厘米的反比例函數(shù),其圖象如圖所示.
請根據(jù)圖象中的信息解決下列問題:
(1)求與之間的函數(shù)表達式;
(2)當某人兩腿邁出的步長之差為厘米時,他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為______米;
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑不小于米,則其兩腿邁出的步長之差最多是多少厘米?
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【題目】為了了解我市中學生參加“科普知識”競賽成績的情況,隨機抽查了部分參賽學生的成績,整理并制作出如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖,如圖所示,請根據(jù)圖表信息解答下列問題:
組別 | 分數(shù)段(分) | 頻數(shù) |
A組 | 60≤x<70 | 30 |
B組 | 70≤x<80 | 90 |
C組 | 80≤x<90 | m |
D組 | 90≤x<100 | 60 |
(1)本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 人.
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若A組學生的平均分是65分,B組學生的平均分是75分,C組學生的平均分是85分,D出學生的平均分是95分,請你估計參加本次測試的同學們平均成績是多少分?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=﹣2x+4分別交x軸、y軸于點A、B,拋物線y=﹣2x2+bx+c過A,B兩點,點P是線段AB上一動點,過點P作PC⊥x軸于點C,交拋物線于點D,拋物線的頂點為M,其對稱軸交AB于點N.
(1)求拋物線的表達式及點M、N的坐標;
(2)是否存在點P,使四邊形MNPD為平行四邊形?若存在求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我市要選拔一名教師參加省級評優(yōu)課比賽:經(jīng)筆試、面試,結果小潘和小丁并列第一,評委會決定通過摸球來確定人選.規(guī)則如下:在不透明的布袋里裝有除顏色之外均相同的2個紅球和1個藍球,小潘先取出一個球,記住顏色后放回,然后小丁再取出一個球.若兩次取出的球都是紅球,則小潘勝出;若兩次取出的球是一紅一藍,則小丁勝出.你認為這個規(guī)則對雙方公平嗎?請用列表法或畫樹狀圖的方法進行分析.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點D、E分別在邊AB、BC上,AE與CD交于點F,若AE平分∠BAC,ABAF=ACAE.
(1)求證:∠AFD=∠AEC;
(2)若EG∥CD,交邊AC的延長線于點G,求證:CDCG=FCBD.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】大學生小李和同學一起自主創(chuàng)業(yè)開辦了一家公司,公司對經(jīng)營的盈虧情況在每月的最后一天結算一次.在1-12月份中,該公司前x個月累計獲得的總利潤y(萬元)與銷售時間x(月)之間滿足二次函數(shù)關系.
(1)求y與x函數(shù)關系式.
(2)該公司從哪個月開始“扭虧為盈”(當月盈利)? 直接寫出9月份一個月內(nèi)所獲得的利潤.
(3)在前12 個月中,哪個月該公司所獲得利潤最大?最大利潤為多少?
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