Question

如圖，在⊙O中，，點(diǎn)M是上任意一點(diǎn)，弦CD與弦BM交于點(diǎn)F，連接MC，MD，BD．
（1）請(qǐng)你在圖中過點(diǎn)B作⊙O的切線AE，并證明AE∥CD；
（不寫作法，作圖允許使用三角板）
（2）求證：MC•MD=MF•MB；
（3）如圖，若點(diǎn)M是上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），弦BM，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接MC，MD，BD，則結(jié)論MC•MD=MF•MB是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)寫出證明過程；如果不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，正確作出切線．
證明：∵AE是⊙O的切線，
∴∠DBE=∠DMB．
∵，
∴∠CDB=∠DMB．
∴∠DBE=∠CDB．
∴AE∥CD．

（2）證明：∵，
∴∠CMF=∠BMD．
又∵∠MCF=∠MBD，
∴△MCF∽△MBD．
∴．
∴MC•MD=MF•MB．

（3）成立．
證明：∵四邊形BDCM是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠FCM=∠DBM，∠FMC=∠BDC．
∵，
∴∠BDC=∠DMB．
∴∠FMC=∠DMB．
∴△MCF∽△MBD．
∴．
∴MC•MD=MF•MB．
分析：（1）當(dāng)作出切線AE后，弦切角DBE和弧BD（弧BC）∠BMC相等，又∠BMC和∠BDC為同弧所對(duì)的圓周角，所以有∠DBE=∠BMC=∠BDC，所以AE∥CD；
（2）因?yàn)椤螪BM和∠DCM為同弧所對(duì)的圓周角，所以相等，又∠BMD和∠BMC為等弧所對(duì)的圓周角，所以相等，即△MCF∽△MBD則有MC•MD=MF•MB；
（3）四邊形BDCM是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以有∠FMC=∠BDC，∠FCM=∠B，又因?yàn)椤螧DC和∠BMD為等弧所對(duì)的圓周角，所以相等，兩組對(duì)應(yīng)角相等，所以相似．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓中等弧同弧所對(duì)的圓周角相等這一性質(zhì)，以及相似的判定，難易程度適中．