Question

（2013•南沙區(qū)一模）如圖1，已知拋物線y=

1

2

x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=2OA=4．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，R為半徑作⊙P，求當(dāng)⊙P與拋物線的對(duì)稱軸l及x軸均相切時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作EG∥y軸，交AC于點(diǎn)G（如圖2）．若E、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．則當(dāng)t為何值時(shí)，△EFG的面積是△ABC的面積的

1

3

？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OA、OB的長(zhǎng)度求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸為x=1，并根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)P到直線x=1與x軸的距離相等列出方程，再解絕對(duì)值方程即可得解；
（3）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出△ABC的面積，并利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AC的解析式，判斷出△BOC是等腰直角三角形，然后用t表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而求出EG的長(zhǎng)度，過(guò)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，用t表示出BM的長(zhǎng)度，然后用t表示出EM的長(zhǎng)度，即△EFG邊EG上的高，再根據(jù)三角形的面積公式列式求解即可．

解答：解：（1）∵OB=2OA=4，
∴OA=2，
∴點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），
把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線y=

1

2

x²+bx+c得，

1 2 ×4-2b+c=0 1 2 ×16+4b+c=0

，
解得

b=-1 c=-4

，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

2

x²-x-4；

（2）拋物線對(duì)稱軸為x=-

b

2a

=-

-1

2× 1 2

=1，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，

1

2

x²-x-4），
∵⊙P與拋物線的對(duì)稱軸l及x軸均相切，
∴|x-1|=|

1

2

x²-x-4|，
即x-1=

1

2

x²-x-4①或x-1=-（

1

2

x²-x-4）②，
解方程①，整理得，x²-4x-6=0，
解得x₁=2+

10

，x₂=2-

10

，
當(dāng)x₁=2+

10

時(shí)，y₁=2+

10

-1=1+

10

，
當(dāng)x₂=2-

10

時(shí)，y₂=2-

10

-1=1-

10

，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+

10

，1+

10

）或（2-

10

，1-

10

），
解方程②，整理得，x²-10=0，
解得x₃=

10

，x₄=-

10

，
當(dāng)x₃=

10

時(shí)，y₃=1-

10

，
當(dāng)x₄=-

10

時(shí)，y₄=1+

10

，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

10

，1-

10

）或（-

10

，1+

10

），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+

10

，1+

10

）或（2-

10

，1-

10

）或（

10

，1-

10

）或（-

10

，1+

10

）；

（3）拋物線解析式當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4），
又∵AB=OA+OB=2+4=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×4=12，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則

-2k+b=0 b=-4

，
解得

k=-2 b=-4

，
所以，直線AC的解析式為y=-2x-4，
∵點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，
∴AE=t，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2+t，0），
∴EG=-2（-2+t）-4=-2t，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴△BOC是等腰直角三角形，
如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，
∵點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
∴BF=

2

t，
∴BM=

2

2

×

2

t=t，
∴ME=AB-AE-BM=6-t-t=6-2t，
即點(diǎn)F到EG的距離為（6-2t），
∴S_△EFG=

1

2

×|-2t|×（6-2t）=-2t²+6t，
又△EFG的面積是△ABC的面積的

1

3

，
∴-2t²+6t=

1

3

×12，
整理得，t²-3t+2=0，
解得t₁=1，t₂=2，
∴當(dāng)t為1秒或2秒時(shí)，△EFG的面積是△ABC的面積的

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（二次函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式），直線與圓相切，圓心到直線的距離等于圓的半徑，解一元二次方程，以及三角形的面積，本題思路比較復(fù)雜，運(yùn)算量較大，要注意分情況討論求解，計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)．