【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線x軸交于點AB1,0),與軸交于點C03),對稱軸為直線

(1)求拋物線的解析式及點A的坐標;

(2)在對稱軸上是否存在一點M,使得△BCM周長最。咳舸嬖,求出△BCM周長;若不存在,請說明理由;

(3)若點P是拋物線上一動點,從點C沿拋物線向點A運動,過點PPD//軸,交AC于點D,當△ADP是直角三角形時,求點P的坐標.

【答案】(1)y=x24x+3;(2)存在,;(3)P1,0)或(2,-1

【解析】

1)用待定系數(shù)法求解即可;

2)連接AC交直線于點M,連接BM.由軸對稱的性質可知此時BM+MC=AM+MC=AC,即△ABM周長最短;

3)分當∠APD=90°時和當∠PAD=90°時兩種情況求解即可.

解:(1)將B(10),C(0,3)代入中,得

,解得,

拋物線解析式為y=x24x+3;

2)存在.

連接AC交直線于點M,連接BM

A,B關于直線對稱,

∴BM=CM

∴BM+MC=AM+MC=AC,

此時△ABM周長最短.

,

∴△ABM的周長最小為AC+BC=

3)由題得,A(3,0),B(1,0),C(0,3)

∴OA=OC ,∴∠CAO=45°,

∠APD=90°時,∵PD//y軸,AB⊥y軸,

∴PD⊥AB,P與點B重合,

∴P點坐標為(1,0);

∠PAD=90°時,則∠PAB=∠DAB=45°,

∵AB⊥PD,,

設直線AC的解析式為y=kx+b,

A(30), C(0,3)代入得

,

解得

∴直線AC的解析式為y=-x+3,

設點D(m-m+3),點P(mm24m+3),

,解得(舍去),

∴P點坐標為(2,-1)

綜上所述,P(10)(2,-1)

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